Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
(x^2+1) y^prime prime-8 x y^prime+15 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
(x^2+1) y'' - 8x y' + 15 y = 0
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação expressa como uma série de potências em torno de . Para isso, vamos precisar usar o método de séries de potências, que envolve assumir que a solução pode ser representada por uma série infinita de potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências centrada em y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar. Também precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 3

Agora, substituímos (x^2+1) ( sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 ) - 8x ( sumn=1^infty n an x^n-1 ) + 15 ( sumn=0^infty an x^n ) = 0, sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 + sumn=2^infty n(n-1) an x^n - 8 sumn=1^infty n an x^n + 15 sumn=0^infty an x^n = 0 e na equação diferencial original:
Vamos distribuir os termos:

Passo 4

Para simplificar, vamos reorganizar os índices das somas para que todas tenham summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m :
  1. No primeiro termo, faça sumn=2^infty n(n-1) an x^n :
-8 sumn=1^infty n an x^n
  1. O segundo termo já está em termos de 15 sumn=0^infty an x^n :
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + sumn=2^infty n(n-1) an x^n - 8 sumn=1^infty n an x^n + 15 sumn=0^infty an x^n = 0
  1. O terceiro termo também está em :
  1. E o quarto termo:
Agora, todas as somas estão em termos de , então podemos combinar os termos:

Passo 5

Para que a equação seja verdadeira para todo (0+2)(0+1) a2 + 15 a0 = 0 Rightarrow 2a2 + 15a0 = 0 Rightarrow a2 = -152a0 , os coeficientes de cada potência de (1+2)(1+1) a3 + (1)(1-1)a1 -8(1)a1 + 15 a1 = 0 Rightarrow 6a3 + 0 -8a1 +15a1 = 0 Rightarrow 6a3 +7a1 = 0 Rightarrow a3 = -76a1 devem ser iguais a zero. Portanto, igualamos os coeficientes:
Para (n+2)(n+1) an+2 + n(n-1)an -8n an +15 an = 0 :
(n+2)(n+1) an+2 + [n(n-1) -8n +15] an = 0
Para (n+2)(n+1) an+2 + [n^2 -n -8n +15] an = 0 :
(n+2)(n+1) an+2 + (n^2 -9n +15) an = 0
Para an+2 = -n^2 -9n +15(n+2)(n+1) an :
Simplificando os termos com :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes y(x) = a0 (1 - 152x^2 - 76x^3 + cdots ) + a1 (x - 76x^3 + cdots ) em função dos anteriores. A solução geral será uma combinação de duas séries independentes, uma ligada à escolha de e outra à escolha de .
Portanto, a solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por uma série de potências em torno de y(x) = a0 (1 - 152x^2 - 76x^3 + cdots ) + a1 (x - 76x^3 + cdots ) :
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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