Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação expressa como uma série de potências em torno de
. Para isso, vamos precisar usar o método de séries de potências, que envolve assumir que a solução pode ser representada por uma série infinita de potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar. Também precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Vamos distribuir os termos:
Passo 4
Para simplificar, vamos reorganizar os índices das somas para que todas tenham
:
- No primeiro termo, faça
:
- O segundo termo já está em termos de
:
- O terceiro termo também está em
:
- E o quarto termo:
Agora, todas as somas estão em termos de
, então podemos combinar os termos:
Passo 5
Para que a equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Portanto, igualamos os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para
:
Simplificando os termos com
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes
em função dos anteriores. A solução geral será uma combinação de duas séries independentes, uma ligada à escolha de
e outra à escolha de
.
Portanto, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por uma série de potências em torno de
:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.