Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
(x^2+1) y^prime prime-6 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial expressando a solução como uma série de potências em torno de . Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que nos ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais quando métodos tradicionais ficam complicados. Vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e como derivar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 . A primeira derivada é:
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
E a segunda derivada é:

Passo 4

Agora, substituímos (x^2 + 1) ( sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 ) - 6 ( sumn=0^infty an x^n ) = 0 e na equação diferencial original:
Vamos distribuir na série da segunda derivada.

Passo 5

Multiplicando x^2 sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 = sumn=2^infty n(n-1) an x^n pela série de sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 :
E multiplicando pela série de permanece:

Passo 6

Agora, juntamos tudo na equação:
sumn=2^infty n(n-1) an x^n + sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - 6 sumn=0^infty an x^n = 0
Precisamos ajustar os índices das somas para que todas as séries estejam na mesma potência de .

Passo 7

Vamos mudar o índice da segunda soma para igualar as potências de summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m . Substituindo sumn=2^infty n(n-1) an x^n + sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - 6 sumn=0^infty an x^n = 0 :
Agora, a equação fica:

Passo 8

Para facilitar, ajustamos a primeira soma começando de sumn=0^infty n(n-1) an x^n + sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - 6 sumn=0^infty an x^n = 0 adicionando termos que anulam quando e :
Agora, todas as somas estão em termos de .

Passo 9

Combinamos as somas:
sumn=0^infty [ n(n-1) an + (n+2)(n+1) an+2 - 6 an ] x^n = 0
Para que isso seja verdadeiro para todo n(n-1) an + (n+2)(n+1) an+2 - 6 an = 0 , cada coeficiente deve ser zero:

Passo 10

Simplificamos a relação de recorrência:
(n+2)(n+1) an+2 = [6 - n(n-1)] an
Isolando an+2 = 6 - n(n-1)(n+2)(n+1) an :

Passo 11

Essa relação de recorrência nos permite determinar todos os coeficientes a partir de e , que são os parâmetros livres da solução. Assim, a solução geral será uma combinação dessas séries.

Resposta

A solução geral da equação y(x) = a0 ( 1 + 62 cdot 1 x^2 + 04 cdot 3 x^4 + dots ) + a1 ( x + 03 cdot 2 x^3 + dots ) expressa como uma série de potências em torno de é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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