Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
expressando a solução como uma série de potências em torno de
. Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que nos ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais quando métodos tradicionais ficam complicados. Vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e como derivar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação diferencial original:
Vamos distribuir
na série da segunda derivada.
Passo 5
Multiplicando
pela série de
:
E multiplicando
pela série de
permanece:
Passo 6
Agora, juntamos tudo na equação:
Precisamos ajustar os índices das somas para que todas as séries estejam na mesma potência de
.
Passo 7
Vamos mudar o índice da segunda soma para igualar as potências de
. Substituindo
:
Agora, a equação fica:
Passo 8
Para facilitar, ajustamos a primeira soma começando de
adicionando termos que anulam quando
e
:
Agora, todas as somas estão em termos de
.
Passo 9
Combinamos as somas:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, cada coeficiente deve ser zero:
Passo 10
Simplificamos a relação de recorrência:
Isolando
:
Passo 11
Essa relação de recorrência nos permite determinar todos os coeficientes
a partir de
e
, que são os parâmetros livres da solução. Assim, a solução geral será uma combinação dessas séries.
Resposta
A solução geral da equação
expressa como uma série de potências em torno de
é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.