(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
x=3 cos theta, y=2 sen theta, 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas x=3costheta, y=2sintheta para 0<=theta<=2pi. O conteúdo aqui é curvas paramétricas e trigonometria, só que isso forma uma elipse. Para resolver vamos usar a identidade trigonométrica cos^2theta+sin^2theta=1 e identificar pontos-chave para esboçar e ver a direção do traçado.

Passo 2

Para montar o esboço, calculamos alguns pontos importantes:
theta=0: (x,y)=(3cos0,2sin0)=(3,0)
theta=tfracpi2: (x,y)=(3costfracpi2,2sintfracpi2)=(0,2)
theta=pi: (x,y)=(3cospi,2sinpi)=(-3,0)
theta=tfrac3pi2: (x,y)=(3costfrac3pi2,2sintfrac3pi2)=(0,-2)
theta=2pi: volta para (3,0).

Passo 3

Ligando esses pontos obtém-se uma elipse centrada na origem com semi-eixo maior de comprimento 3 no eixo x e semi-eixo menor de comprimento 2 no eixo y. Como ao aumentar theta de 0 para tfracpi2 o ponto vai de (3,0) para (0,2) seguindo para cima, o traçado é feito no sentido anti-horário (indique uma seta nesse sentido).

Passo 4

Para eliminar o parâmetro, escrevemos costheta=tfracx3 e sintheta=tfracy2 e aplicamos a identidade trigonométrica. Assim:
l(x3r)^2+l(y2r)^2=1

Resposta

a) É uma elipse centrada na origem com semi-eixo maior de tamanho 3 no eixo x e semi-eixo menor de tamanho 2 no eixo y, traçada no sentido anti-horário.
b) Equação cartesiana: tfracx^29+tfracy^24=1.

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