Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
3 y^prime prime-x y^prime+y=x^2+2 x+1.

Passo 1

A equação dada é 3 y’’ – x y’ + y = x² + 2x + 1. Vamos resolver por séries de potências em torno de x=0, usando como assunto “série de potências para solução de EDO” e precisaremos igualar coeficientes de potências de x para achar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n.

Passo 2

Assumimos a solução na forma de série de potências:
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
Então as derivadas são
y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)an x^n-2

Passo 3

Substituímos essas séries na equação 3y’’ – x y’ + y = x² + 2x + 1.
Para o termo 3y’’: mude o índice n→n+2 em y’’ e multiplique por 3:
3y''=3sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
Para –x y’:
-x y'= -sumn=1^inftyn an x^n
E para y:
y=sumn=0^inftyan x^n
O lado direito é 1+2x+x^2=sumn=0^infty bn x^n com b0=1,b1=2,b2=1 e bn=0 para n>=3.

Passo 4

Agora igualamos coeficientes de x^n em
3(n+2)(n+1)an+2-n an + an = bn,
ou seja
3(n+2)(n+1)an+2+(1-n)an=bn
Isto vale para todo n>=0. Em particular, para n=0 obtemos
6a2 + a0 =1
Para n>=1 temos a fórmula geral de recorrência
an+2=bn-(1-n)an3(n+2)(n+1)

Passo 5

Vamos calcular alguns coeficientes iniciais em função de a0 e a1:
Para n=0:
a2=1-a06
Para n=1: b1=2 e 1-n=0, logo
a3=23cdot3cdot2=19
Para n=2: b2=1 e 1-2=-1,
a4=1-(-1)a23cdot4cdot3=1+a236=1+(1-a0)/636=7-a0216
Para n=3: b3=0 e 1-3=-2,
a5=0-(-2)a33cdot5cdot4=2a360=2/960=1270

Passo 6

Com esses coeficientes, a solução geral fica
y(x)=a0 + a1 x + 1-a06x^2 + 19x^3 + 7-a0216x^4 + 1270x^5 + cdots,
onde a0 e a1 são as constantes de integração que definem a família de soluções.

Passo 7

Este processo pode ser continuado para gerar todos os termos da série usando a recorrência
an+2=bn-(1-n)an3(n+2)(n+1)

Resposta

y(x)=a0 + a1 x + 1-a06x^2 + 19x^3 + 7-a0216x^4 + 1270x^5 + cdots, onde a0 e a1 são constantes arbitrárias.

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