Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
A equação dada é 3 y’’ – x y’ + y = x² + 2x + 1. Vamos resolver por séries de potências em torno de x=0, usando como assunto “série de potências para solução de EDO” e precisaremos igualar coeficientes de potências de x para achar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n.
Passo 2
Assumimos a solução na forma de série de potências:
Então as derivadas são
Passo 3
Substituímos essas séries na equação 3y’’ – x y’ + y = x² + 2x + 1.
Para o termo 3y’’: mude o índice n→n+2 em y’’ e multiplique por 3:
Para o termo 3y’’: mude o índice n→n+2 em y’’ e multiplique por 3:
Para –x y’:
E para y:
O lado direito é
Passo 4
Agora igualamos coeficientes de
em
ou seja
Isto vale para todo
. Em particular, para
obtemos
Para
Passo 5
Vamos calcular alguns coeficientes iniciais em função de
e
:
Para :
Para
Para
Para
:
e
,
Para
Passo 6
Com esses coeficientes, a solução geral fica
onde
Passo 7
Este processo pode ser continuado para gerar todos os termos da série usando a recorrência