Nos itens abaixo, esboce, descreva e classifique as regiões de integração.
-2 <= y <= 2, y^2 <= x <= 4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar, descrever e classificar a região dada pelas desigualdades -2<= y<= 2 e y^2<= x<= 4. O conteúdo envolve reconhecimento de regiões planas em duas variáveis e suas representações como regiões do tipo I e tipo II para integração.

Passo 2

A região fica entre a parábola x=y^2 (que abre para a direita) e a reta x=4, limitada verticalmente por y=-2 e y=2. No plano (x,y) isso forma uma “fatia” entre o vértice da parábola em (0,0) até o ponto (4,2) em cima e (4,-2) embaixo.

Passo 3

Como região do tipo II (verticamente simples), escolhemos x primeiro: para cada x entre 0 e 4, y varia entre as raízes da parábola. Assim
0 <= x <= 4, -raizx <= y <= raizx

Passo 4

Como região do tipo I (horizontalmente simples), escolhemos y primeiro: para cada y entre -2 e 2, x varia entre a parábola e a reta. Assim

Resposta

A região
R=(x,y):-2<= y<=2,;y^2<= x<=4
é simultaneamente:
– Tipo I (horizontalmente simples): para -2<= y<=2,
y^2<= x<=4
– Tipo II (verticalmente simples): para 0<= x<=4,
-raizx<= y<=raizx

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