Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
y^prime prime-3 x y=0.

Passo 1

A questão pede para encontrar a solução geral da equação y''-3xy=0 como série de potências em torno de x=0. O conteúdo aqui é solução de EDO por série de potências, e vamos precisar assumir y=sumn=0^infty anx^n, calcular y' e y'', e igualar coeficientes.

Passo 2

Começamos supondo
y(x)=sumn=0^infty anx^n,
então
y''(x)=sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n
Substituindo em y''-3xy=0 e reindexando, igualamos coeficientes de x^n.

Passo 3

Da igualdade de séries vem a relação de recorrência
(n+2)(n+1)an+2-3an-1=0,
isto é,
an+2=3(n+2)(n+1),an-1,
válida para n>=1.

Passo 4

Para n=0 a recorrência dá 2cdot1,a2-3a-1=0, e como a-1=0 fica a2=0. A partir disso nota-se que todos os termos cujo índice nequiv2pmod3 serão zero.

Passo 5

As duas constantes livres são a0 e a1. Dividindo os termos em duas sequências:
  • Para n=3m:
a3m=a0prodk=1^m3(3k)(3k-1)=a0m!prodk=1^m(3k-1)
  • Para n=3m+1:
a3m+1=a1prodk=1^m3(3k+1)(3k)=a1m!prodk=1^m(3k+1)

Passo 6

Aí temos duas soluções fundamentais em série:
y1(x)=1+x^32+x^620+x^9480+cdots,
y2(x)=x+x^44+x^756+x^101680+cdots

Passo 7

Portanto, a solução geral é uma combinação linear dessas duas séries.

Resposta

y(x)=C1l(1+tfracx^32+tfracx^620+tfracx^9480+cdotsr)+C2l(x+tfracx^44+tfracx^756+tfracx^101680+cdotsr), onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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