Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
A questão pede para encontrar a solução geral da equação
como série de potências em torno de
. O conteúdo aqui é solução de EDO por série de potências, e vamos precisar assumir
, calcular
e
, e igualar coeficientes.
Passo 2
Começamos supondo
então
Substituindo em
e reindexando, igualamos coeficientes de
.
Passo 3
Da igualdade de séries vem a relação de recorrência
isto é,
válida para
.
Passo 4
Para
a recorrência dá
, e como
fica
. A partir disso nota-se que todos os termos cujo índice
serão zero.
Passo 5
As duas constantes livres são
e
. Dividindo os termos em duas sequências:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Aí temos duas soluções fundamentais em série:
Passo 7
Portanto, a solução geral é uma combinação linear dessas duas séries.