Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
y^prime prime prime+3 x^2 y^prime prime-2 y=0.

Passo 1

No enunciado queremos a solução geral da EDO y''' + 3x^2y'' - 2y = 0 como série de potências ao redor de x=0. O conteúdo é método de séries de potências para EDO em ponto ordinário, vamos supor uma série do tipo y=sumn=0^infty an x^n.

Passo 2

Derivamos essa série termo a termo:
y'=sumn=1^infty n an x^n-1, y''=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2, y'''=sumn=3^infty n(n-1)(n-2)an x^n-3

Passo 3

Multiplicamos y'' por 3x^2 e reescrevemos todas as somas como potências de x^n:
3x^2y''=3sumn=2^infty n(n-1)an x^n=3sumn=0^infty n(n-1)an x^n,
é -2y=-2sumn=0^infty an x^n.

Passo 4

Somando as três séries e igualando a zero obtemos para cada n>=0:
(n+3)(n+2)(n+1)an+3+3n(n-1)an-2an=0,
o que leva ao
an+3=2-3n(n-1)(n+3)(n+2)(n+1),an

Passo 5

Como temos três coeficientes livres a0,a1,a2, surgem três soluções independentes na forma de séries em que cada uma envolve termos de x^3m+ell com ell=0,1,2. Calculando os primeiros coeficientes:
  • Para ell=0: a3=tfrac26a0=tfraca03,;a6=-tfrac245a0,dots
  • Para ell=1: a4=tfrac112a1,;a7=-tfrac171260a1,dots
  • Para ell=2: a5=-tfrac115a2,;a8=tfrac292520a2,dots

Passo 6

A combinação linear dessas três séries dá a solução geral com três constantes arbitrárias C1,C2,C3.

Resposta

A solução geral é
C_1\Bigl[1+\tfrac{x3}{3}-\tfrac{2x6}{45}+\cdots\Bigr]+C_2\Bigl[x+\tfrac{x4}{12}-\tfrac{17x7}{1260}+\cdots\Bigr]+C_3\Bigl[x2-\tfrac{x5}{15}+\tfrac{29x^8}{2520}+\cdots\Bigr],
ou de modo geral
y=summ=0^infty a3m,x^3m+summ=0^infty a3m+1,x^3m+1+summ=0^infty a3m+2,x^3m+2com an+3=2-3n(n-1)(n+3)(n+2)(n+1)an

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