Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
No enunciado queremos a solução geral da EDO
como série de potências ao redor de
. O conteúdo é método de séries de potências para EDO em ponto ordinário, vamos supor uma série do tipo
.
Passo 2
Derivamos essa série termo a termo:
Passo 3
Multiplicamos
por
e reescrevemos todas as somas como potências de
:
é
.
Passo 4
Somando as três séries e igualando a zero obtemos para cada
:
o que leva ao
Passo 5
Como temos três coeficientes livres
, surgem três soluções independentes na forma de séries em que cada uma envolve termos de
com
. Calculando os primeiros coeficientes:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 6
A combinação linear dessas três séries dá a solução geral com três constantes arbitrárias
.
Resposta
A solução geral é
C_1\Bigl[1+\tfrac{x3}{3}-\tfrac{2x6}{45}+\cdots\Bigr]+C_2\Bigl[x+\tfrac{x4}{12}-\tfrac{17x7}{1260}+\cdots\Bigr]+C_3\Bigl[x2-\tfrac{x5}{15}+\tfrac{29x^8}{2520}+\cdots\Bigr],
ou de modo geral