Seja A: E E uma transformação linear. Para quaisquer vetores u in Kern(A) e v in Im(A), prove que se tem A u in Kern(A) e A v in Im(A).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear Acolon Eto E e pede para mostrar duas propriedades envolvendo seu núcleo Kern(A) e sua imagem Im(A):
  1. Se uinKern(A), então A uinKern(A).
  2. Se vinIm(A), então A vinIm(A).
    Vamos usar a definição de núcleo ( Kern(A)=x:A x=0), a definição de imagem ( Im(A)=A x:xin E) e a linearidade de A.

Passo 2

Provar que se uinKern(A) então A uinKern(A).
Por definição, uinKern(A) implica
A u = 0
Aplicando A de novo, pela linearidade,
A(Au)=A(0)=0
Logo A u satisfaz A(Au)=0, ou seja, A uinKern(A).

Passo 3

Provar que se vinIm(A) então A vinIm(A).
Por definição de imagem, vinIm(A) significa que existe algum win E tal que
v = A w
Então, aplicando A em v e usando linearidade,
A v = A(Aw) = A^2(w)
Mas A^2(w)=A(x) onde x = A win E. Portanto A v é da forma A(x) com xin E, isto é,
A v in Im(A)

Resposta

Mostramos que (i) uinKern(A)implies A uinKern(A) e (ii) vinIm(A)implies A vinIm(A), conforme pedido.

Exercícios relacionados