Seja
uma transformação linear. Para quaisquer vetores
e
, prove que se tem
e
.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
e pede para mostrar duas propriedades envolvendo seu núcleo
e sua imagem
:
- Se
, então . - Se
, então .
Vamos usar a definição de núcleo (), a definição de imagem ( ) e a linearidade de .
Passo 2
Provar que se
então
.
Por definição, implica
Por definição,
Aplicando
de novo, pela linearidade,
Logo
satisfaz
, ou seja,
.
Passo 3
Provar que se
então
.
Por definição de imagem, significa que existe algum
tal que
Por definição de imagem,
Então, aplicando
em
e usando linearidade,
Mas
onde
. Portanto
é da forma
com
, isto é,
Resposta
Mostramos que (i)
e (ii)
, conforme pedido.