Se
são projeções e
, mostre que
é uma projeção cujo núcleo é
e cuja imagem é
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial e que
são projeções lineares (isto é,
e
) que comutam (
). Precisamos mostrar que
também é projeção e determinar
e
.
Passo 2
Mostramos que
é idempotente:
Como
, segue que
é projeção.
Passo 3
Determinamos
. Se
então
– ,
– e também (pois
).
Logo .
Reciprocamente, se , então
e
–
– e também
Logo
Reciprocamente, se
o que mostra
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Determinamos
.
Primeiro, se então
e
Primeiro, se
logo
. De modo análogo
. Assim
Passo 5
Para a inclusão inversa, seja
, isto é
. Escrevemos
Como
, temos
. E
diz que
. Logo
o que mostra
.
Resposta
e