Se P, Q: E E são projeções e P Q=Q P, mostre que P Q é uma projeção cujo núcleo é Kern(P)+Kern(Q) e cuja imagem é Im(P) cap Im(Q).

Passo 1

O enunciado diz que E é um espaço vetorial e que P,Q: Eto E são projeções lineares (isto é, P^2=P e Q^2=Q) que comutam ( PQ=QP). Precisamos mostrar que PQ também é projeção e determinar
Ker(PQ) e Im(PQ).

Passo 2

Mostramos que PQ é idempotente:
(PQ)^2 ;=; PQ,PQ ;=; P,(QP),Q ;=; P,(PQ),Q ;=; (PP),(QQ) ;=; PQ
Como (PQ)^2 = PQ, segue que PQ é projeção.

Passo 3

Determinamos Im(PQ). Se x=PQ(y) então
x = P(Qy)in Im(P),
– e também x = Q(P y)in Im(Q) (pois PQ=QP).
Logo Im(PQ)subseteq Im(P)cap Im(Q).
Reciprocamente, se zin Im(P)cap Im(Q), então Pz=Qz=z e
PQ(z)=P(Qz)=P(z)=z,
o que mostra zin Im(PQ).
Portanto
Im(PQ) =Im(P)cap Im(Q)

Passo 4

Determinamos Ker(PQ).
Primeiro, se uin Ker(P) então Pu=0 e
PQ(u)=P(Qu)=Q(Pu)=Q(0)=0,
logo uin Ker(PQ). De modo análogo Ker(Q)subseteqKer(PQ). Assim
Ker(P)+Ker(Q) subseteq Ker(PQ)

Passo 5

Para a inclusão inversa, seja xin Ker(PQ), isto é P(Qx)=0. Escrevemos
x = (x - Qx) + Qx
Como Q(x - Qx)=Qx - Q^2x=0, temos x-Qxin Ker(Q). E P(Qx)=0 diz que Qxin Ker(P). Logo
xin Ker(Q)+Ker(P) =Ker(P)+Ker(Q),
o que mostra
Ker(PQ)subseteq Ker(P)+Ker(Q).

Resposta

PQ é projeção,
Ker(PQ)=Ker(P)+Ker(Q)
e
Im(PQ)=Im(P)cap Im(Q).

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