Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.

Passo 1

O enunciado pede expressar 100 como soma de dois inteiros positivos, com as condições:
  • o primeiro inteiro é divisível por 7;
  • o segundo inteiro é divisível por 11.
Informações dadas:
  • o número total a ser dividido é 100;
  • queremos dois inteiros positivos a e b tais que a+b=100, 7\mid a e 11\mid b.

Passo 2

Vamos introduzir variáveis que capturem as divisibilidades de forma explícita:
  • escrever o primeiro inteiro como a=7x, onde x é um inteiro positivo ( x\in\mathbb{Z}_{>0});
  • escrever o segundo inteiro como b=11y, onde y é um inteiro positivo ( y\in\mathbb{Z}_{>0}).
A condição a+b=100 passa a ser uma equação em x e y.

Passo 3

Substituindo a e b na soma, obtemos a equação diofantina linear
7x+11y=100,
onde x e y são inteiros positivos. Vou explicar como resolver esse tipo de equação passo a passo.

Passo 4

Primeiro, observar o máximo divisor comum dos coeficientes:
\gcd(7,11)=1.
Quando \gcd(7,11)=1 e 1 divide 100, a equação tem solução inteira. Além disso, as soluções inteiras podem ser geradas a partir de uma solução particular adicionando combinações apropriadas dos coeficientes trocados (mostro isso adiante).

Passo 5

Encontro de uma solução particular: resolvo a congruência obtida reduzindo a equação módulo 7 para determinar y. Tomando a equação módulo 7:
11y \equiv 100 \pmod{7}.
Calculo os resíduos:
11 \equiv 4 \pmod{7},\qquad 100 \equiv 2 \pmod{7}
(portanto a congruência fica 4y\equiv2\pmod{7}). Agora preciso do inverso de 4 módulo 7. Como 4\cdot2=8\equiv1\pmod{7}, o inverso de 4 é 2. Multiplicando ambos os lados por 2,
y\equiv 2\cdot2 \equiv 4 \pmod{7}.
Assim, um representante positivo mínimo é y=4. Substituindo de volta na equação para achar x:
7x+11\cdot4=100 \quad\Rightarrow\quad 7x+44=100 \quad\Rightarrow\quad 7x=56 \quad\Rightarrow\quad x=8.
Portanto uma solução particular é x=8,\;y=4.

Passo 6

Escrevo agora a solução geral inteira da equação. Para uma equação 7x+11y=100 com \gcd(7,11)=1, a solução geral a partir da particular (x_0,y_0)=(8,4) é
x = 8 - 11t,\qquad y = 4 + 7t,
onde t\in\mathbb{Z}. (Isto vem do fato de que ao trocar t por t+1 decrementa x em 11 e incrementa y em 7, mantendo 7x+11y constante.)

Passo 7

Agora impomos a condição de positividade: x>0 e y>0.
  • De x=8-11t>0 segue 8-11t>0\Rightarrow 11t<8\Rightarrow t\le 0 (pois t é inteiro).
  • De y=4+7t>0 segue 4+7t>0\Rightarrow t>-\dfrac{4}{7}\Rightarrow t\ge 0 (pois t inteiro).
A interseção das condições t\le 0 e t\ge 0 é t=0. Logo o único valor inteiro admissível é t=0.

Passo 8

Tomando t=0 na solução geral retorna a solução particular já encontrada:
x=8,\qquad y=4.
Voltando para os números originais:
a=7x=7\cdot8=56,\qquad b=11y=11\cdot4=44.
Verificação rápida: 56+44=100, 56 é divisível por 7 e 44 é divisível por 11.

Passo 9

Conclusão interpretativa (dica prática para a prova): para problemas do tipo "escrever N como soma de um múltiplo de m e um múltiplo de n", recomenda-se escrever a= m x, b = n y, substituir em mx+ny=N e resolver a congruência (por exemplo módulo m ou n) para encontrar uma solução particular; então gerar a solução geral e aplicar restrições de positividade. Aqui o procedimento dá solução única positiva (56,44).

Resposta

100 = 56 + 44

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