Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.
Passo 1
O enunciado pede expressar
como soma de dois inteiros positivos, com as condições:
- o primeiro inteiro é divisível por
; - o segundo inteiro é divisível por
.
Informações dadas:
- o número total a ser dividido é
; - queremos dois inteiros positivos
e tais que , e .
Passo 2
Vamos introduzir variáveis que capturem as divisibilidades de forma explícita:
- escrever o primeiro inteiro como
, onde é um inteiro positivo ( ); - escrever o segundo inteiro como
, onde é um inteiro positivo ( ).
A condição
passa a ser uma equação em
e
.
Passo 3
Substituindo
e
na soma, obtemos a equação diofantina linear
onde
e
são inteiros positivos. Vou explicar como resolver esse tipo de equação passo a passo.
Passo 4
Primeiro, observar o máximo divisor comum dos coeficientes:
Quando
e
divide
, a equação tem solução inteira. Além disso, as soluções inteiras podem ser geradas a partir de uma solução particular adicionando combinações apropriadas dos coeficientes trocados (mostro isso adiante).
Passo 5
Encontro de uma solução particular: resolvo a congruência obtida reduzindo a equação módulo
para determinar
. Tomando a equação módulo
:
Calculo os resíduos:
(portanto a congruência fica
). Agora preciso do inverso de
módulo
. Como
, o inverso de
é
. Multiplicando ambos os lados por
,
Assim, um representante positivo mínimo é
. Substituindo de volta na equação para achar
:
Portanto uma solução particular é
.
Passo 6
Escrevo agora a solução geral inteira da equação. Para uma equação
com
, a solução geral a partir da particular
é
onde
. (Isto vem do fato de que ao trocar
por
decrementa
em
e incrementa
em
, mantendo
constante.)
Passo 7
Agora impomos a condição de positividade:
e
.
- De
segue (pois é inteiro). - De
segue (pois inteiro).
A interseção das condições
e
é
. Logo o único valor inteiro admissível é
.
Passo 8
Tomando
na solução geral retorna a solução particular já encontrada:
Voltando para os números originais:
Verificação rápida:
,
é divisível por
e
é divisível por
.
Passo 9
Conclusão interpretativa (dica prática para a prova): para problemas do tipo "escrever
como soma de um múltiplo de
e um múltiplo de
", recomenda-se escrever
,
, substituir em
e resolver a congruência (por exemplo módulo
ou
) para encontrar uma solução particular; então gerar a solução geral e aplicar restrições de positividade. Aqui o procedimento dá solução única positiva
.