Seja um plano \beta e um ponto P qualquer que não pertença ao plano \beta. Mostre que a equação para determinar a distância entre o plano e ponto é:
d(P, \beta)=\frac{|a x 0+b y 0+c z 0+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

Passo 1

O enunciado dá um plano \beta e um ponto P que não pertence a \beta. Precisamos mostrar a fórmula da distância do ponto ao plano:
d(P,\beta)=\frac{|a x_0+b y_0+c z_0+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}
Informações fornecidas que vamos usar:
  • O plano \beta tem equação geral a x+b y+c z+d=0, com a,b,c não todos nulos.
  • O ponto P tem coordenadas (x_0,y_0,z_0) e P\notin\beta (ou seja, a x_0+b y_0+c z_0+d\neq 0).
    A partir daqui vamos derivar passo a passo a fórmula pedida.

Passo 2

Identificamos o vetor normal ao plano. A equação a x+b y+c z+d=0 nos dá diretamente um vetor perpendicular ao plano:
\mathbf{n} = (a,b,c).
Explicação curta e intuitiva: os coeficientes a,b,c formam um vetor que é ortogonal a qualquer vetor que esteja contido no plano — por isso chamamos \mathbf{n} de vetor normal. Saber o normal é útil porque a distância do ponto ao plano é justamente a componente de \overrightarrow{QP} na direção desse normal (projecção ortogonal sobre \mathbf{n}).

Passo 3

Escolhemos um ponto qualquer Q que esteja no plano \beta. Não precisamos conhecer suas coordenadas explícitas; basta saber que elas satisfazem a equação do plano:
a x_Q + b y_Q + c z_Q + d = 0.
A ideia é medir a distância entre P e o plano passando por esse ponto Q: a distância solicitada será o comprimento da componente de \overrightarrow{QP} na direção do normal \mathbf{n}.

Passo 4

Escrevemos o vetor que vai de Q até P:
\overrightarrow{QP} = (x_0-x_Q,\; y_0-y_Q,\; z_0-z_Q).
Agora usamos a ideia de projeção ortogonal: a distância do ponto P ao plano é o comprimento da projeção de \overrightarrow{QP} sobre a direção do normal \mathbf{n}. A projeção escalar de \overrightarrow{QP} sobre o vetor unitário na direção de \mathbf{n} é dada por
\frac{\overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|},
e como distância é sempre não negativa, tomamos o valor absoluto:
d(P,\beta)=\left|\frac{\overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|}\right|.
Aqui explico os símbolos: \overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n} é o produto escalar entre os vetores; \|\mathbf{n}\| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{n}, que é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.

Passo 5

Calculamos o produto escalar \overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n}:
\overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n}=a(x_0-x_Q)+b(y_0-y_Q)+c(z_0-z_Q).
Desenvolvendo os termos:
\overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n}=a x_0 + b y_0 + c z_0 - \bigl(a x_Q + b y_Q + c z_Q\bigr).

Passo 6

Usamos que Q está no plano, ou seja, a x_Q + b y_Q + c z_Q + d = 0. Portanto
a x_Q + b y_Q + c z_Q = -d.
Substituindo isso na expressão do produto escalar obtemos
\overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n}=a x_0 + b y_0 + c z_0 + d.

Passo 7

Finalmente substituímos no valor da distância dado no Passo 4, lembrando que \|\mathbf{n}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Assim
d(P,\beta)=\left|\frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 + d}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right|.
Explicação final: o valor absoluto aparece porque o produto escalar pode ser negativo dependendo de em qual “lado” do plano P está; a distância é sempre positiva. Essa fórmula não depende do ponto Q escolhido no plano — qualquer Q dá o mesmo numerador depois da substituição — então é bem definida.

Resposta

d(P,\beta)=\frac{\left|a x_0+b y_0+c z_0+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

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