Determine uma solução aproximada para a seguinte equação, depois de linearizar em torno de x = 2.
1-e^x2+x^2-10=0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução aproximada da equação 1 - e^x/2 + x^2 - 10 = 0 usando a linearização em torno de x=2. O conteúdo principal aqui é a aproximação linear (primeiro termo da série de Taylor) e vamos precisar de f(x) e f'(x) avaliados em x=2.

Passo 2

Definimos a função f(x) cuja raiz queremos aproximar e calculamos sua derivada:
f(x)=1 - e^x/2 + x^2 - 10
f'(x)=-12e^x/2 + 2x

Passo 3

Calculamos os valores em x=2:
f(2)=1 - e^1 + 2^2 - 10 = -5 - e
f'(2)=-tfrac12 e^1 + 4 = 4 - tfrace2

Passo 4

Montamos a aproximação linear de f(x) em torno de x=2:
f(x)approx f(2) + f'(2)(x-2)
Para achar a raiz aproximada igualamos a zero:
0 = f(2) + f'(2)(x-2)
Desse modo
x-2 approx -f(2)f'(2)
x approx 2 - f(2)f'(2)

Passo 5

Substituindo f(2) e f'(2) e fazendo as contas:
-f(2)f'(2) = --5 - e4 - tfrace2 = 5+e4 - tfrace2 = 2(5+e)8 - e
Numericamente, com eapprox2,718:
2(5+e)8 - eapprox2times7,7185,282approx2,922
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xapprox2 + 2,922 = 4,922

Resposta

A solução aproximada pela linearização em torno de 2 é xapprox4,92.

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