Provar que o sistema de coordenadas cilíndricas é ortogonal.

Passo 1

Beleza, a gente vai provar que o sistema de coordenadas cilíndricas é ortogonal. Isso pertence à matéria de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um sistema de coordenadas ser ortogonal e como identificar as bases desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema de coordenadas ortogonal. Um sistema é ortogonal se os vetores das suas coordenadas são perpendiculares entre si. Ou seja, os vetores de base formam ângulos de 90 graus.

Passo 3

No sistema de coordenadas cilíndricas, usamos três coordenadas: $ r $ (raio), $ \theta $ (ângulo) e $ z $ (altura). Cada uma dessas coordenadas tem um vetor de base associado:
  • $ \mathbf{e}_r $: aponta na direção radial.
  • $ \mathbf{e}_\theta $: aponta na direção angular, perpendicular a $ \mathbf{e}_r $.
  • $ \mathbf{e}_z $: aponta na direção vertical, igual ao eixo $ z $ no sistema cartesiano.

Passo 4

Para provar que o sistema é ortogonal, vamos calcular o produto interno (ou escalar) entre cada par de vetores de base e mostrar que é igual a zero, indicando que são perpendiculares.

Passo 5

Primeiro, calculamos $ \mathbf{e}r \cdot \mathbf{e}\theta $:
Sabemos que $ \mathbf{e}r $ e $ \mathbf{e}\theta $ são perpendiculares por definição, então:
er cdot etheta

Passo 6

Agora, calculamos $ \mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_z $:
Como $ \mathbf{e}_r $ está no plano radial e $ \mathbf{e}_z $ é vertical, eles também são perpendiculares:
er cdot ez

Passo 7

Por fim, calculamos $ \mathbf{e}_\theta \cdot \mathbf{e}_z $:
Similarmente, $ \mathbf{e}_\theta $ está no plano angular e $ \mathbf{e}_z $ é vertical, então são perpendiculares:
etheta cdot ez

Resposta

Como todos os produtos internos entre os vetores de base são iguais a zero, mostramos que os vetores são perpendiculares entre si. Portanto, o sistema de coordenadas cilíndricas é ortogonal.

Exercícios relacionados