A função f(z)=\frac{3 z^{4}-2 z^{3}+8 z^{2}-2 z+5}{z-i} é contínua em z=i ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(z)=\frac{3z^{4}-2z^{3}+8z^{2}-2z+5}{z-i}
e pergunta se ela é contínua em z=i. Aqui o conteúdo é classificação de singularidades em funções de variável complexa: temos um polo potencial em z=i, e para saber se é removível (logo extensível a uma função contínua) basta verificar se o numerador também se anula em z=i.

Passo 2

Calcular o valor do numerador em z=i:
P(z)=3z^{4}-2z^{3}+8z^{2}-2z+5
P(i)=3i^{4}-2i^{3}+8i^{2}-2i+5 =3\cdot1-2(-i)+8(-1)-2i+5 =3+2i-8-2i+5=0.
Como P(i)=0, o fator (z-i) divide P(z) e a singularidade em z=i é removível.

Passo 3

Para obter o valor do limite \lim_{z\to i}f(z), fazemos a divisão de P(z) por (z-i) e avaliamos o quociente em z=i. Chamemos
Q(z)=\frac{P(z)}{z-i},
então
\lim_{z\to i}f(z)=Q(i).

Passo 4

O quociente avaliado em z=i
Q(i)=4+4i.
Logo,
\lim_{z\to i}f(z)=4+4i,
e podemos definir f(i)=4+4i para estender f de forma contínua em z=i.

Resposta

Não, f não é originalmente definida em z=i, mas a singularidade é removível e \displaystyle\lim_{z\to i}f(z)=4+4i.
Se definirmos f(i)=4+4i, então f torna-se contínua em z=i.

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