Exprimir as funções abaixo na forma u(x, y)+i v(x, y), onde u e v são reais:
e^{3 z}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função f(z)=e^{3z} na forma
u(x,y)+i\,v(x,y),
onde z=x+ i y e u,v são funções reais de x e y. Vamos usar a decomposição do exponencial complexo e a fórmula de Euler para separar parte real e imaginária.

Passo 2

Primeiro, substituímos z=x+i y em 3z:
3z = 3(x+i y) = 3x + i\,3y.
Logo,
e^{3z} = e^{3x + i\,3y}.

Passo 3

Usamos a propriedade do exponencial para separar as parcelas real e imaginária:
e^{3x + i\,3y} = e^{3x}\,e^{i\,3y}.
Em seguida aplicamos a fórmula de Euler
e^{i\,3y} = \cos(3y) + i\,\sin(3y).

Passo 4

Multiplicando por e^{3x} obtemos
e^{3z} = e^{3x}\bigl(\cos(3y) + i\,\sin(3y)\bigr) = e^{3x}\cos(3y) + i\,e^{3x}\sin(3y).
Dessa forma, a parte real é u(x,y)=e^{3x}\cos(3y) e a parte imaginária é v(x,y)=e^{3x}\sin(3y).

Resposta

u(x,y)=e^{3x}\cos(3y), \qquad v(x,y)=e^{3x}\sin(3y).

Exercícios relacionados