Prove que
\frac{d}{d z} \operatorname{arcsen} z=\frac{1}{\sqrt{1-z^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para z em (-1,1),
\frac{d}{dz}\bigl(\operatorname{arcsen} z\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1 - z^{2}}}.
O conteúdo principal é a derivação de função inversa; vamos usar a regra da cadeia e a identidade trigonométrica \sin^{2}w + \cos^{2}w = 1.

Passo 2

Seja
w = \operatorname{arcsen} z.
Por definição de função inversa, isso significa
\sin w = z, \qquad w\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a z na equação \sin w = z, obtemos
\cos w \,\frac{dw}{dz} = 1,
pela regra da cadeia.

Passo 4

Logo,
\frac{dw}{dz} = \frac{1}{\cos w}.
Como w\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2], temos \cos w\ge0, e pela identidade trigonométrica
\cos w = \sqrt{1 - \sin^{2}w} = \sqrt{1 - z^{2}}.
Portanto
\frac{dw}{dz} = \frac{1}{\sqrt{1 - z^{2}}}.

Resposta

\frac{d}{dz}\bigl(\operatorname{arcsen} z\bigr) = \frac{1}{\sqrt{1 - z^{2}}}.

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