Prove:
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula de Euler para a função seno no plano complexo, ou seja, mostrar que, para
,
O conteúdo necessário é a definição de
em termos de exponenciais complexas:
Passo 2
Aplicamos a definição ao caso
. Primeiro calculamos
e
Passo 3
Formamos o numerador da definição de
:
Reagrupando termos reais e imaginários:
Aqui usamos as definições
e
.
Passo 4
Agora dividimos por
:
O passo de dividir por
faz com que o termo real (proporcional a
) se torne a parte imaginária, e o termo imaginário se torne a parte real, conforme a álgebra de números complexos.