Prove:
\operatorname{sen}(x+i y)=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+i \cos x \operatorname{senh} y

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de Euler para a função seno no plano complexo, ou seja, mostrar que, para x,y\in\mathbb{R},
\operatorname{sen}(x+i y)=\operatorname{sen}x\;\operatorname{cosh} y+i\,\cos x\;\operatorname{sinh} y.
O conteúdo necessário é a definição de \operatorname{sen}z em termos de exponenciais complexas:
\operatorname{sen}z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i}.

Passo 2

Aplicamos a definição ao caso z=x+i y. Primeiro calculamos
e^{i(x+i y)}=e^{i x-y}=e^{-y}\bigl(\cos x+i\sin x\bigr),
e
e^{-i(x+i y)}=e^{-i x+y}=e^{y}\bigl(\cos x-i\sin x\bigr).

Passo 3

Formamos o numerador da definição de \operatorname{sen}(x+i y):
e^{i(x+i y)}-e^{-i(x+i y)} =e^{-y}(\cos x+i\sin x)-e^{y}(\cos x-i\sin x).
Reagrupando termos reais e imaginários:
\begin{aligned} &= \cos x\bigl(e^{-y}-e^{y}\bigr) +i\,\sin x\bigl(e^{-y}+e^{y}\bigr)\\\ &= -2\,\cos x\,\operatorname{sinh} y \;+\;i\,2\,\sin x\,\operatorname{cosh} y. \end{aligned}
Aqui usamos as definições \operatorname{sinh} y=(e^{y}-e^{-y})/2 e \operatorname{cosh} y=(e^{y}+e^{-y})/2.

Passo 4

Agora dividimos por 2i:
\operatorname{sen}(x+i y) =\frac{-2\cos x\,\operatorname{sinh} y + i\,2\sin x\,\operatorname{cosh} y}{2i} =\sin x\,\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\,\operatorname{sinh} y.
O passo de dividir por i faz com que o termo real (proporcional a -2\cos x\,\operatorname{sinh} y) se torne a parte imaginária, e o termo imaginário se torne a parte real, conforme a álgebra de números complexos.

Resposta

\operatorname{sen}(x+i y)=\operatorname{sen}x\;\operatorname{cosh} y+i\,\cos x\;\operatorname{sinh} y.

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