Exprimir como o produto de ciclos disjuntos:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede: expressar como produto de ciclos disjuntos a permutação dada pelo produto
Informações que temos (copiadas do enunciado):
- Quatro ciclos que aparecem no produto:
, , e . - A tarefa é escrever o produto acima como um produto de ciclos disjuntos (ou seja, como a decomposição em ciclos que não compartilham elementos).
Passo 2
Vamos lembrar como interpretar cada ciclo e como compor ciclos.
- Um ciclo
significa a aplicação que envia , , e o último de volta para . Elementos que não aparecem no ciclo ficam fixos por esse ciclo. - Quando temos um produto de ciclos escritos juntos como
adotaremos a convenção usual em álgebra: aplica-se primeiro o ciclo que está mais à direita. Ou seja, se definirmos
então a permutação total é
e para qualquer elemento
vale
Isso significa que, para calcular a imagem de
pela permutação total, aplicamos primeiro
, depois
, depois
e por fim
.
Passo 3
Estratégia prática para achar a decomposição em ciclos disjuntos:
- Vou calcular
para cada em (são exatamente os elementos que aparecem nos ciclos). - Depois reunirei esses mapeamentos em ciclos: tomo um ponto
, sigo até voltar a ; isso forma um ciclo. Repito com um elemento ainda não usado até cobrir todos.
Agora calculo
passo a passo.
Passo 4
Calcular
:
Logo
Passo 5
Calcular
e
:
Para :
Para
portanto
Para
:
portanto
Passo 6
Calcular
,
,
:
Para :
Para
logo
.
Para :
Para
logo
.
Para :
Para
logo
.
Passo 7
Calcular
,
,
:
Para :
Para
logo
.
Para :
Para
logo
.
Para :
Para
logo
.
Passo 8
Agora temos o mapeamento completo:
Formamos ciclos seguindo as órbitas. Começando em
:
portanto isso é o ciclo
Esse ciclo já contém todos os elementos de
a
, então a decomposição em ciclos disjuntos é apenas este ciclo de comprimento
.