Exprimir como o produto de ciclos disjuntos:
(a) (1,2,3)(4,5)(1,6,7,8,9)(1,5).

Passo 1

O enunciado pede: expressar como produto de ciclos disjuntos a permutação dada pelo produto
(1,2,3)(4,5)(1,6,7,8,9)(1,5).
Informações que temos (copiadas do enunciado):
  • Quatro ciclos que aparecem no produto: (1,2,3), (4,5), (1,6,7,8,9) e (1,5).
  • A tarefa é escrever o produto acima como um produto de ciclos disjuntos (ou seja, como a decomposição em ciclos que não compartilham elementos).

Passo 2

Vamos lembrar como interpretar cada ciclo e como compor ciclos.
  • Um ciclo (a\,b\,c\,\dots) significa a aplicação que envia a\mapsto b, b\mapsto c, \dots e o último de volta para a. Elementos que não aparecem no ciclo ficam fixos por esse ciclo.
  • Quando temos um produto de ciclos escritos juntos como
(1,2,3)(4,5)(1,6,7,8,9)(1,5),
adotaremos a convenção usual em álgebra: aplica-se primeiro o ciclo que está mais à direita. Ou seja, se definirmos
A=(1,2,3),\quad B=(4,5),\quad C=(1,6,7,8,9),\quad D=(1,5),
então a permutação total é
\varphi = A\circ B\circ C\circ D,
e para qualquer elemento x vale
\varphi(x)=A\big(B\big(C\big(D(x)\big)\big)\big).
Isso significa que, para calcular a imagem de x pela permutação total, aplicamos primeiro D, depois C, depois B e por fim A.

Passo 3

Estratégia prática para achar a decomposição em ciclos disjuntos:
  • Vou calcular \varphi(x) para cada x em \{1,2,\dots,9\} (são exatamente os elementos que aparecem nos ciclos).
  • Depois reunirei esses mapeamentos em ciclos: tomo um ponto x, sigo x\mapsto\varphi(x)\mapsto\varphi(\varphi(x)) até voltar a x; isso forma um ciclo. Repito com um elemento ainda não usado até cobrir todos.
Agora calculo \varphi(x)=A(B(C(D(x)))) passo a passo.

Passo 4

Calcular \varphi(1):
D(1)=5,
C(5)=5\quad(\text{pois }5\text{ não está no ciclo }(1,6,7,8,9)),ãá
B(5)=4\quad(\text{pois }(4,5)\text{ troca }4\leftrightarrow5),
A(4)=4\quad(\text{pois }4\text{ não está em }(1,2,3)).ãá
Logo
\varphi(1)=4.

Passo 5

Calcular \varphi(4) e \varphi(5):
Para 4:
D(4)=4,\quad C(4)=4,\quad B(4)=5,\quad A(5)=5,
portanto
\varphi(4)=5.
Para 5:
D(5)=1,\quad C(1)=6,\quad B(6)=6,\quad A(6)=6,
portanto
\varphi(5)=6.

Passo 6

Calcular \varphi(6), \varphi(7), \varphi(8):
Para 6:
D(6)=6,\quad C(6)=7,\quad B(7)=7,\quad A(7)=7,
logo \varphi(6)=7.
Para 7:
D(7)=7,\quad C(7)=8,\quad B(8)=8,\quad A(8)=8,
logo \varphi(7)=8.
Para 8:
D(8)=8,\quad C(8)=9,\quad B(9)=9,\quad A(9)=9,
logo \varphi(8)=9.

Passo 7

Calcular \varphi(9), \varphi(2), \varphi(3):
Para 9:
D(9)=9,\quad C(9)=1,\quad B(1)=1,\quad A(1)=2,
logo \varphi(9)=2.
Para 2:
D(2)=2,\quad C(2)=2,\quad B(2)=2,\quad A(2)=3,
logo \varphi(2)=3.
Para 3:
D(3)=3,\quad C(3)=3,\quad B(3)=3,\quad A(3)=1,
logo \varphi(3)=1.

Passo 8

Agora temos o mapeamento completo:
1\mapsto4,\quad 4\mapsto5,\quad 5\mapsto6,\quad 6\mapsto7,\quad 7\mapsto8,\quad 8\mapsto9,\quad 9\mapsto2,\quad 2\mapsto3,\quad 3\mapsto1.
Formamos ciclos seguindo as órbitas. Começando em 1:
1\to4\to5\to6\to7\to8\to9\to2\to3\to1,
portanto isso é o ciclo
(1,4,5,6,7,8,9,2,3).
Esse ciclo já contém todos os elementos de 1 a 9, então a decomposição em ciclos disjuntos é apenas este ciclo de comprimento 9.

Resposta

(1,4,5,6,7,8,9,2,3)

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