Encontrar as órbitas e os ciclos das seguintes permutações:
(b) \left(\begin{array}{llllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 1 & 2\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a permutação
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[4pt] 6 & 5 & 4 & 3 & 1 & 2\end{pmatrix}
e pede para encontrar as órbitas (conjuntos de elementos transitados entre si pela permutação) e os ciclos (a notação cíclica que descreve a permutação).
As informações relevantes que temos (do enunciado):
  • A imagem de cada elemento dada pela permutação: 1\mapsto6,\;2\mapsto5,\;3\mapsto4,\;4\mapsto3,\;5\mapsto1,\;6\mapsto2.
  • Quer-se determinar as órbitas e escrever a permutação em ciclos.]

Passo 2

O que significa operar com essa permutação (explicação didática):
  • A permutação é uma função bijetora \sigma do conjunto \{1,2,3,4,5,6\} em si mesma. A notação de duas linhas mostra \sigma(i) na segunda linha sob i.
  • A órbita de um elemento i é o conjunto \{\sigma^k(i)\mid k\in\mathbb{Z}\}, ou mais concretamente os elementos que se obtêm aplicando repetidamente \sigma até voltar a i.
  • Um ciclo é uma escrita compacta que lista os elementos de uma órbita na ordem em que se transformam: por exemplo o ciclo (a\,b\,c) significa a\mapsto b,\; b\mapsto c,\; c\mapsto a.
    Vou aplicar isso passo a passo aos elementos dados.

Passo 3

Começo calculando imagens iteradas de 1 para encontrar a sua órbita.
Usando as imagens fornecidas:
1 \mapsto 6.
Agora aplicação seguinte:
6 \mapsto 2.
Aplicando de novo:
2 \mapsto 5.
E mais uma vez:
5 \mapsto 1.
Como voltamos a 1, a sequência fecha. Assim a órbita de 1 é
\{1,6,2,5\}.
Em notação de ciclo, listar os elementos na ordem das imagens dá o ciclo
(1\,6\,2\,5),
que significa exatamente 1\mapsto6,\;6\mapsto2,\;2\mapsto5,\;5\mapsto1.

Passo 4

Agora verifico um elemento que ainda não apareceu: 3.
Calculo as imagens iteradas de 3:
3 \mapsto 4, \qquad 4 \mapsto 3.
Voltando a 3 em duas aplicações, a órbita de 3 é
\{3,4\}.
Em notação de ciclo isso é o ciclo
(3\,4),
ou seja 3\mapsto4,\;4\mapsto3.

Passo 5

Verificação de cobertura: os elementos 1,2,5,6 já aparecem na órbita \{1,6,2,5\} e 3,4 aparecem na órbita \{3,4\}. Não há outros elementos em \{1,\dots,6\}. Portanto as órbitas são exatamente \{1,6,2,5\} e \{3,4\}, e a permutação se decompõe como produto de ciclos disjuntos (1\,6\,2\,5)(3\,4).

Passo 6

Comentário final curto (didático): escrever a permutação em ciclos disjuntos é útil porque cada ciclo atua independentemente nos seus elementos. Aqui temos um ciclo de comprimento 4 e um de comprimento 2; os comprimentos confirmam que a permutação leva 1 de volta a si após 4 aplicações e leva 3 de volta após 2 aplicações.

Resposta

Órbitas: \{1,6,2,5\},\\ \{3,4\}
Ciclos: (1\,6\,2\,5)(3\,4)

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