Exprimir a seguinte função racional em uma base adequada de vetores.
r(x)=p(x) / q(x),
sendo p(x)=11 x^2-42 x-20
e q(x)=x^3-6 x^2-15 x+100

Passo 1

O enunciado pede para escrever
r(x)=p(x)q(x), p(x)=11x^2-42x-20, q(x)=x^3-6x^2-15x+100
numa base de funções racionais adequada. O método usado é a decomposição em frações parciais, pois assim representamos r(x) como combinação linear dos vetores (funções)
1x-5, 1(x-5)^2, 1x+4

Passo 2

Para aplicar frações parciais, primeiro fatoramos o denominador q(x). Buscamos raízes inteiras candidatas:
q(5)=5^3-6cdot5^2-15cdot5+100=125-150-75+100=0,
logo x=5 é raiz. Fazendo divisão sintética obtemos
q(x)=(x-5)(x^2-x-20)=(x-5)(x-5)(x+4)=(x-5)^2(x+4)

Passo 3

Como q(x)=(x-5)^2(x+4), postulamos a forma
p(x)q(x) =Ax-5+B(x-5)^2+Cx+4

Passo 4

Multiplicamos por (x-5)^2(x+4) e igualamos coeficientes. Temos
p(x)=A(x-5)(x+4)+B(x+4)+C(x-5)^2
Expandindo:
A(x^2-x-20)+B,x+4B+C(x^2-10x+25)
Agrupando em potências de x:
(A+C)x^2+(-A+B-10C)x+(-20A+4B+25C)
Devem coincidir com 11x^2-42x-20, gerando o sistema
A+C=11, -,A+B-10C=-42, -20A+4B+25C=-20

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação C=11-A. Substituindo na segunda,
-,A+B-10(11-A)=-42;Rightarrow;9A+B=68;Rightarrow;B=68-9A
Na terceira,
-20A+4(68-9A)+25(11-A)=-20 ;Rightarrow;-81A+547=-20 ;Rightarrow;A=7
Logo
C=11-7=4, B=68-9cdot7=5

Passo 6

Substituindo A, B e C na forma de frações parciais, obtemos
r(x) =11x^2-42x-20(x-5)^2(x+4) =7x-5+5(x-5)^2+4x+4

Resposta

p(x)q(x) =7x-5+5(x-5)^2+4x+4

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