Para uma viga engastada submetida a uma carga, apresenta seção variável ao longo do comprimento, quando x=0 no engaste a seção transversal da viga tem base b=0.30 m e altura de 0.60 m , já no outro lado da viga (livre) em x=L a seção transversal tem base b=0.30 m e altura de 0.20 m , modele a deflexão da viga com módulo de elasticidade de 70 MPa , considere o comprimento da barra de L=10 m. A viga está sujeita a uma distribuição de carga cujo módulo varia com x:
omega(x)=omega0 sin (pi xLx)
Sendo omega0=4.6 kN / m.
A solução geral para a viga engastada é
v(x)=C1+C2 x+C32 x^2+C46 x^3+omega0 L^4E I pi^4 sin (pi xL)
Deflexão temos:
v(x)=-0.003142 x+0.001548 x^2-0.0000517 x^3+0.009993 sin (0.3141593 cdot x)(m)
Momento fletor temos:
M(x)=-1.465 cdot 10^5+1.464 cdot 10^4 x+4.660 cdot 10^4 sin (0.3141593 cdot x)(N cdot m)
a) Determine a forma dinâmica que governa este problema, e resolva utilizando o método das diferenças finitas.

Passo 1

O enunciado descreve uma viga bi\mbox{-}dimensional engastada em x=0 e livre em x=L, com seção transversal trapezoidal de base constante b=0,30rm,m e altura que varia linearmente de h(0)=0,60rm,m até h(L)=0,20rm,m. O material tem módulo de elasticidade E=70rm,MPa e está sujeita a carga distribuída
omega(x)=omega0sinl(tfracpi,xLr),
com omega0=4,6rm,kN/m e L=10rm,m.
Conteúdo: teoria de vigas de Euler\mbox{–}Bernoulli com seção variável e método de diferenças finitas para resolver a EDO quártica.

Passo 2

Escrevemos a forma dinâmica (no tempo t) da teoria de Euler\mbox{–}Bernoulli com inércia linear por unidade de comprimento m(x):
m(x),partial^2 vpartial t^2 +partial^2partial x^2l[E,I(x),partial^2 vpartial x^2r] =omega(x,t)
Para o problema estático (sem termo partial^2v/partial t^2), reduz\mbox{-}se a
d^2dx^2l[E,I(x),d^2 v(x)dx^2r] =omega(x)

Passo 3

Determinamos o momento de inércia variável I(x). A altura varia linearmente,
h(x)=0,60-0,40L,x,
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I(x)=b,h(x)^312 =0,3012l(0,60-tfrac0,4010xr)^3

Passo 4

Transformamos a EDO quártica em duas EDOs de segunda ordem:
M(x)=E,I(x),d^2vdx^2, d^2Mdx^2=omega(x)
As condições de contorno são
;v(0)=0,;v'(0)=0 (engaste) e
;M(L)=0,;(dM/dx)|x=L=0 (livre).

Passo 5

Discretizamos o eixo xin[0,L] em N+1 nós de passo De<a x=L/N. Para cada nó interno i=1,dots,N-1:
1. Aproximamos
d^2Mdx^2|xi approxMi-1-2Mi+Mi+1De<a x^2 =omegai
2. Aproximamos
Mi=E,Ii, vi+1-2vi+vi-1De<a x^2

Passo 6

Construímos o sistema linear pelas duas equações acima em todos os nós internos, inserindo as condições de contorno nos extremos. Isso gera uma matriz senoidal (banda de largura 5) para os incógnitos vi,Mi.

Passo 7

Eliminando as variáveis Mi do sistema (substituindo Mi=E,Ii,de<a^2vi na equação da carga) obtemos um único sistema para vi do tipo
sumj=i-2^i+2aij,vj = omegai,
onde os coeficientes aij dependem de E,I e de De<a x.

Passo 8

Resolvemos numericamente o sistema linear com, por exemplo, eliminação de Gauss ou fatoração LU. Após obter vi, calculamos Mi por
Mi=E,Ii,vi+1-2vi+vi-1De<a x^2

Resposta

A forma dinâmica governa\mbox{-}se pela EDO de Euler\mbox{–}Bernoulli com coeficiente variável
m(x),partial^2vpartial t^2 +partial^2partial x^2!l[E,I(x),partial^2vpartial x^2r] =omega0sin!l(tfracpi xLr),
que em regime estático reduz\mbox{-}se a
d^2dx^2l[E,I(x),d^2vdx^2r] =omega0sin!l(tfracpi xLr)
Resolvemos por diferenças finitas em duas EDOs de segunda ordem acopladas, discretizando em N passos, impondo condições de contorno de engaste e extremidade livre, montando o sistema linear banda\mbox{-}banda e solucionando por métodos usuais de álgebra linear. Com isso obtemos vi e Mi em todos os nós.

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