Exresse o valor da função trigonométrica dada na forma a+i b.
(f) \operatorname{cossec}(1+i)

Passo 1

O enunciado pede calcular \csc(1+i) e expressar o resultado na forma a+ib.
Vamos usar as fórmulas de função trigonométrica para argumento complexo e, em seguida, inverter o seno para obter a cosecante.

Passo 2

Aplicando
\sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y
com x=1 e y=1, obtemos
\sin(1+i)=\sin1\cosh1 + i\cos1\sinh1.
Denotando
A=\sin1\cosh1, \quad B=\cos1\sinh1,
temos \sin(1+i)=A+iB.

Passo 3

Como \csc(1+i)=\tfrac1{\sin(1+i)}, fazemos a inversão de A+iB:
\csc(1+i) =\frac{1}{A+iB} =\frac{A-iB}{A^2+B^2}.

Passo 4

Calculamos o denominador:
A^2+B^2 =(\sin1\cosh1)^2+(\cos1\sinh1)^2 =\sin^2 1\,\operatorname{cosh}^2 1+\cos^2 1\,\operatorname{sinh}^2 1 =\sin^2 1+\operatorname{sinh}^2 1.
Logo,
\csc(1+i) =\frac{\sin1\cosh1}{\sin^2 1 + \operatorname{sinh}^2 1} - i\,\frac{\cos1\sinh1}{\sin^2 1 + \operatorname{sinh}^2 1}.

Resposta

\csc(1+i) =\frac{\sin1\cosh1}{\sin^2 1 + \operatorname{sinh}^2 1} - i\,\frac{\cos1\sinh1}{\sin^2 1 + \operatorname{sinh}^2 1}.

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