Encontre todos os valores complexos z que satisfaçam a equação dada.
(a) \operatorname{sen} z=i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação
\sin z = i
no conjunto dos complexos.
Conteúdo: usamos a definição da função seno em \mathbb{C} via exponenciais e depois resolvemos a equação algébrica que surge, recorrendo ao logaritmo complexo.

Passo 2

Reescrevemos
\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
e impomos
\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = i.
Multiplicando ambos os lados por 2i obtemos
e^{iz}-e^{-iz}=-2.

Passo 3

Colocamos t = e^{iz}. A equação vira
t - \frac1t = -2 \quad\Longrightarrow\quad t^2 + 2t - 1 = 0.
As raízes são
t = -1 \pm \sqrt{2}.

Passo 4

Para cada solução t temos
e^{iz} = t \quad\Longrightarrow\quad iz = \ln(t) + 2\pi i k,\quad k\in\mathbb{Z},
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z = -\,i\ln(t) + 2\pi k.
Como t_1=-1+\sqrt2>0 e t_2=-1-\sqrt2<0, introduzimos a parte imaginária de \ln(t_2) igual a \pi e unimos as duas famílias de soluções.

Passo 5

Uma forma compacta e clássica de escrever todas as soluções é usando o fato de
\ln(\sqrt2+1)=\operatorname{arcsinh}(1).
Com isso obtemos a família
z = n\pi + i(-1)^n\,\ln\bigl(1+\sqrt2\bigr), \quad n\in\mathbb{Z}.

Resposta

z = n\pi + i(-1)^n \ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr),\quad n\in\mathbb{Z}.

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