Uma extensa parede plana de 2 L de espessura é submetida a uma geração de calor. Determine a expressão para a variação de temperatura na parede se
\mathrm{T}_{1}>\mathrm{T}_{2}

Passo 1

O enunciado descreve uma parede plana de espessura total 2L (de -L a +L) com geração volumétrica uniforme de calor q'''. Nas faces x=-L e x=+L as temperaturas são mantidas fixas em T_1 e T_2, respectivamente, com T_1>T_2. Queremos a distribuição de temperatura T(x) no estado estacionário. Para isso usaremos a equação unidimensional de condução de calor com geração interna,
\frac{d^2T}{dx^2} + \frac{q'''}{k} = 0,
onde k é a condutividade térmica.

Passo 2

Integramos a equação diferencial duas vezes. Primeiro escrevemos
\frac{d^2T}{dx^2} = -\frac{q'''}{k},
e então integramos uma vez em x:
\frac{dT}{dx} = -\frac{q'''}{k}\,x + C_1.

Passo 3

Integramos novamente:
T(x) = -\frac{q'''}{2k}\,x^2 + C_1\,x + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração a determinar pelas condições de contorno T(-L)=T_1 e T(L)=T_2.

Passo 4

Aplicando T(-L)=T_1 e T(L)=T_2 obtemos o sistema
-\frac{q'''}{2k}L^2 - C_1 L + C_2 = T_1, \qquad -\frac{q'''}{2k}L^2 + C_1 L + C_2 = T_2.
Subtraindo a primeira equação da segunda vem
2\,C_1\,L = T_2 - T_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = \frac{T_2 - T_1}{2L}.

Passo 5

Somando as duas equações do passo anterior,
- \frac{q'''}{k}L^2 + 2\,C_2 = T_1 + T_2 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{T_1 + T_2}{2} + \frac{q'''L^2}{2k}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na expressão geral de T(x) obtemos
T(x) = -\frac{q'''}{2k}\,x^2 + \frac{T_2 - T_1}{2L}\,x + \frac{T_1 + T_2}{2} + \frac{q'''L^2}{2k}.
Reorganizando,
T(x) = \frac{T_1 + T_2}{2} + \frac{T_2 - T_1}{2L}\,x + \frac{q'''}{2k}\bigl(L^2 - x^2\bigr).

Resposta

T(x) = \frac{T_1 + T_2}{2} + \frac{T_2 - T_1}{2L}\,x + \frac{q'''}{2k}\bigl(L^2 - x^2\bigr).

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