Uma extensa parede plana de 2 L de espessura é submetida a uma geração de calor. Determine a expressão para a variação de temperatura na parede se
\mathrm{T}_{1}=\mathrm{T}_{2}.

Passo 1

Temos uma parede plana de espessura total 2L, com geração interna de calor volumétrica constante \dot q''' e condutividade térmica k. Está em regime estacionário e as temperaturas nas faces x=-L e x=+L são iguais: T(-L)=T(L)=T_{1}. Queremos achar a distribuição T(x).

Passo 2

A equação da condução unidimensional em regime estacionário com geração interna é
\frac{d}{dx}\Bigl(k\,\frac{dT}{dx}\Bigr) + \dot q''' = 0.
Como k é constante, isso simplifica para
k\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}} + \dot q''' = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^{2}T}{dx^{2}} = -\frac{\dot q'''}{k}.

Passo 3

Integramos a equação acima duas vezes para obter a solução geral:
\frac{dT}{dx} = -\frac{\dot q'''}{k}\,x + C_{1}
T(x) = -\frac{\dot q'''}{2\,k}\,x^{2} + C_{1}\,x + C_{2}.

Passo 4

Usamos as condições de contorno. Primeiro, por simetria e pelas temperaturas iguais nas faces, a inclinação no centro ( x=0) deve ser nula:
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0 \;\Longrightarrow\; C_{1}=0.
Depois, impondo T(L)=T_{1}:
T(L) = -\frac{\dot q'''}{2\,k}\,L^{2} + C_{2} = T_{1} \;\Longrightarrow\; C_{2} = T_{1} + \frac{\dot q'''}{2\,k}\,L^{2}.

Passo 5

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, obtemos
T(x) = T_{1} + \frac{\dot q'''}{2\,k}\,\bigl(L^{2} - x^{2}\bigr).

Resposta

T(x) = T_{1} + \frac{\dot q'''}{2\,k}\,\bigl(L^{2} - x^{2}\bigr).
Ou, em termos de variação em relação à face,
\Delta T(x)=T(x)-T_{1}=\frac{\dot q'''}{2\,k}\,(L^{2}-x^{2}).

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