Exercício 9

Halliday-23-8: Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de íons negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 N / C. Considere um banheiro de dimensões 2,5 m \times 3,0 m \times 2,0 m. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar seja perpendicular à superfície e possua um módulo uniforme de 600 N / C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formem uma superfície gaussiana que envolva o ar do banheiro. Determine (a) a densidade volumétrica de carga \rho e (b) o número de cargas elementares e em excesso por metro cúbico de ar.

Passo 1

O enunciado dá um banheiro de dimensões 2{,}5\text{ m}\times3{,}0\text{ m}\times2{,}0\text{ m}. Em cada face (teto, piso e quatro paredes) o campo elétrico no ar tem módulo 600\text{ N/C} e é perpendicular à superfície. Como os respingos geram excesso de íons negativos, o campo aponta para dentro do volume, ou seja, faz fluxo negativo através da superfície gaussiana que envolve o ar. Para achar a densidade de carga volumétrica vamos usar a Lei de Gauss:
\oint_{\mathcal S}\mathbf E\cdot d\mathbf A \;=\;\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}\,.

Passo 2

Calcule as áreas de todas as faces e some:
teto e piso têm área
A_{1}=2{,}5\times3{,}0=7{,}5\text{ m}^2,
logo as duas dão 2A_{1}=15\text{ m}^2.
duas paredes medem 2{,}5\times2{,}0=5{,}0\text{ m}^2 cada, totalizando 2\times5{,}0=10\text{ m}^2.
outras duas medem 3{,}0\times2{,}0=6{,}0\text{ m}^2 cada, totalizando 2\times6{,}0=12\text{ m}^2.
Somando tudo:
A_{\rm total}=15+10+12=37\text{ m}^2.

Passo 3

Como o campo aponta para dentro, para cada face \mathbf E\cdot d\mathbf A=-E\,A. Assim o fluxo total é
\Phi=\oint E\cdot dA = -E\;A_{\rm total} = -600\times37 = -2{,}22\times10^{4}\text{ N·m}^2\!/C.

Passo 4

Pela Lei de Gauss,
Q_{\rm int} = \varepsilon_0\,\Phi = (8{,}85\times10^{-12})\times\bigl(-2{,}22\times10^{4}\bigr) = -1{,}96\times10^{-7}\text{ C}.

Passo 5

A densidade volumétrica de carga é
\rho = \frac{Q_{\rm int}}{V} \quad\text{com}\quad V=2{,}5\times3{,}0\times2{,}0=15\text{ m}^3,
logo
\rho = \frac{-1{,}96\times10^{-7}}{15} \approx -1{,}31\times10^{-8}\text{ C/m}^3.

Passo 6

O número de cargas elementares em excesso por metro cúbico é \displaystyle n=\frac{|\rho|}{e}, onde e=1{,}60\times10^{-19}\text{ C}. Assim
n = \frac{1{,}31\times10^{-8}}{1{,}60\times10^{-19}} \approx 8{,}2\times10^{10}\text{ cargas/m}^3.

Resposta

(a) \rho \approx -1{,}31\times10^{-8}\text{ C/m}^3.
(b) Aproximadamente 8{,}2\times10^{10} cargas elementares em excesso por metro cúbico de ar (de sinal negativo).

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