EXTRA: Uma caixa d’água de 1000 litros, completamente vazia, está apoiada sobre o chão e será enchida a partir de uma bomba d’água que tem vazão de 3000 litros/hora. Desconsiderando a massa das paredes do reservatório, \mathrm{g}=10 \mathrm{~ms}^{-2} e a densidade da água de 1 \mathrm{~g} / \mathrm{ml}, determine:
a) O tempo necessário para encher completamente o reservatório
b) A reação normal média exercida pelo chão sobre o reservatório

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, bem claro para não nos perdermos.
  • Volume do reservatório: \,1000\\ \text{L}.
  • Reservatório totalmente vazio no início.
  • Vazão da bomba: \,3000\\ \text{L/h}.
  • Aceleração da gravidade: \,g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Densidade da água: \,1\\ \text{g/mL}.
    O enunciado pede:
    (a) o tempo necessário para encher completamente o reservatório;
    (b) a reação normal média exercida pelo chão sobre o reservatório enquanto ele é enchido (considerando massa das paredes desprezível).

Passo 2

Primeiro vamos lidar com unidades e conversões que vamos usar depois.
  • Converter volume de litros para metros cúbicos: 1\\ \text{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^3}. Portanto
1000\\ \text{L} = 1000\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m^3} = 1\\ \mathrm{m^3}.
  • Converter a vazão para \mathrm{m^3/h}: como 1000\\ \text{L}=1\\ \mathrm{m^3},
3000\\ \text{L/h} = 3\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Converter a densidade dada para unidades SI (kg/m^3). Sabendo que 1\\ \text{g/mL}=1\\ \text{g/cm}^3 e que 1\\ \text{g/cm}^3=1000\\ \mathrm{kg/m^3},
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

(a) Tempo para encher: a fórmula básica é
\text{tempo} = \frac{\text{volume}}{\text{vazão}}.ã
Usando as unidades em litros (podemos, pois ambas quantidades estão em litros/hora):
\text{tempo}=\frac{1000\\ \text{L}}{3000\\ \text{L/h}}=\frac{1000}{3000}\\ \text{h}=\frac{1}{3}\\ \text{h}.
Converter para minutos e segundos (útil para a prova):
\frac{1}{3}\\ \text{h}=20\\ \text{min}, \qquad 20\\ \text{min}=20\cdot60\\ \text{s}=1200\\ \text{s}.

Passo 4

(b) Primeiro determinamos a massa final da água no reservatório (massa total quando cheio). Usamos a relação massa = densidade × volume.
Explicando a fórmula: \,m=\rho V, onde \,m é a massa em kg, \rho é a densidade em \mathrm{kg/m^3} e V é o volume em \mathrm{m^3}.
Substituindo os valores que já convertimos:
m = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times 1\\ \mathrm{m^3} = 1000\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Agora calculamos o peso (força gravitacional) da água quando o reservatório estiver cheio. A fórmula do peso é \,P=mg, onde \,m é a massa e \,g a aceleração da gravidade.
Substituindo:
P = 1000\\ \mathrm{kg}\times 10\\ \mathrm{m/s^2} = 10000\\ \mathrm{N}.
Esse é o valor da reação normal final (quando cheio) — já que desprezamos a massa das paredes, a única força que o chão precisa suportar é o peso da água.

Passo 6

Agora precisamos da reação normal média durante o processo de enchimento. Vamos raciocinar:
  • A reação normal instantânea R(t) que o chão exerce é, em cada instante, igual ao peso da água presente naquele instante (assumimos enchimento sem aceleração vertical do conjunto; o reservatório fica apoiado sem saltos, então equilíbrio estático instantâneo se aplica).
  • A massa da água cresce de 0 até M=1000\\ \mathrm{kg} de forma linear no tempo porque a vazão é constante. Logo R(t) cresce linearmente de 0 até P=10000\\ \mathrm{N}.
    Duas formas equivalentes de obter a média temporal:
  1. Observação simples para funções lineares: média de uma função que varia linearmente entre dois extremos é a média aritmética dos extremos. Assim
R_{\text{média}}=\frac{R_{\text{inicial}}+R_{\text{final}}}{2}=\frac{0 + 10000\\ \mathrm{N}}{2}=5000\\ \mathrm{N}.é
  1. Cálculo por integral (mais formal): seja T o tempo de enchimento (aqui T=\tfrac{1}{3}\\ \text{h}, pode usar horas ou segundos, cancela no resultado). A média temporal é
R_{\text{média}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} R(t)\,dt.é
Se R(t) cresce linearmente como R(t)=\dfrac{P}{T}t (pois em t=0 vale 0 e em t=T vale P), então
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{P}{T}t\,dt=\frac{1}{T}\cdot\frac{P}{T}\cdot\frac{T^2}{2}=\frac{P}{2}.
Substituindo P=10000\\ \mathrm{N} obtemos novamente
R_{\text{média}}=5000\\ \mathrm{N}.é

Passo 7

Resumo físico e dica para a prova (motivação): a reação normal aqui é simplesmente a força que equilibra o peso da água presente em cada instante. Com vazão constante a massa (e portanto o peso) sobe linearmente — por isso a média no processo fica na metade do peso final. Isso é um tipo de problema clássico: quando algo aumenta/decrece linearmente, a média em tempo é a média dos extremos. Você pode decorar a ideia, mas na prova vale a pena citar brevemente a integral para justificar.

Resposta

(a) \dfrac{1}{3}\\ \text{h}=20\\ \text{min}=1200\\ \text{s}
(b) 5000\\ \mathrm{N}

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