EXTRA: Uma caixa d’água de 1000 litros, completamente vazia, está apoiada sobre o chão e será enchida a partir de uma bomba d’água que tem vazão de 3000 litros/hora. Desconsiderando a massa das paredes do reservatório,
e a densidade da água de
, determine:
a) O tempo necessário para encher completamente o reservatório
b) A reação normal média exercida pelo chão sobre o reservatório
a) O tempo necessário para encher completamente o reservatório
b) A reação normal média exercida pelo chão sobre o reservatório
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, bem claro para não nos perdermos.
- Volume do reservatório:
. - Reservatório totalmente vazio no início.
- Vazão da bomba:
. - Aceleração da gravidade:
. - Densidade da água:
.
O enunciado pede:
(a) o tempo necessário para encher completamente o reservatório;
(b) a reação normal média exercida pelo chão sobre o reservatório enquanto ele é enchido (considerando massa das paredes desprezível).
Passo 2
Primeiro vamos lidar com unidades e conversões que vamos usar depois.
- Converter volume de litros para metros cúbicos:
. Portanto
- Converter a vazão para
: como ,
- Converter a densidade dada para unidades SI (kg/m^3). Sabendo que
e que ,
Passo 3
(a) Tempo para encher: a fórmula básica é
Usando as unidades em litros (podemos, pois ambas quantidades estão em litros/hora):
Converter para minutos e segundos (útil para a prova):
Passo 4
(b) Primeiro determinamos a massa final da água no reservatório (massa total quando cheio). Usamos a relação massa = densidade × volume.
Explicando a fórmula: , onde
é a massa em kg,
é a densidade em
e
é o volume em
.
Substituindo os valores que já convertimos:
Explicando a fórmula:
Substituindo os valores que já convertimos:
Passo 5
Agora calculamos o peso (força gravitacional) da água quando o reservatório estiver cheio. A fórmula do peso é
, onde
é a massa e
a aceleração da gravidade.
Substituindo:
Substituindo:
Esse é o valor da reação normal final (quando cheio) — já que desprezamos a massa das paredes, a única força que o chão precisa suportar é o peso da água.
Passo 6
Agora precisamos da reação normal média durante o processo de enchimento. Vamos raciocinar:
- A reação normal instantânea
que o chão exerce é, em cada instante, igual ao peso da água presente naquele instante (assumimos enchimento sem aceleração vertical do conjunto; o reservatório fica apoiado sem saltos, então equilíbrio estático instantâneo se aplica). - A massa da água cresce de
até de forma linear no tempo porque a vazão é constante. Logo cresce linearmente de até .
Duas formas equivalentes de obter a média temporal:
- Observação simples para funções lineares: média de uma função que varia linearmente entre dois extremos é a média aritmética dos extremos. Assim
- Cálculo por integral (mais formal): seja
o tempo de enchimento (aqui , pode usar horas ou segundos, cancela no resultado). A média temporal é
Se
cresce linearmente como
(pois em
vale
e em
vale
), então
Substituindo
obtemos novamente
Passo 7
Resumo físico e dica para a prova (motivação): a reação normal aqui é simplesmente a força que equilibra o peso da água presente em cada instante. Com vazão constante a massa (e portanto o peso) sobe linearmente — por isso a média no processo fica na metade do peso final. Isso é um tipo de problema clássico: quando algo aumenta/decrece linearmente, a média em tempo é a média dos extremos. Você pode decorar a ideia, mas na prova vale a pena citar brevemente a integral para justificar.
Resposta
(a)
(b)
(b)