A Terceira Lei de Newton pode ser explicada a partir da conservação do momento linear. Elabore.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que vou assumir (tudo claro para a prova):
- Pedido: mostrar como a Terceira Lei de Newton pode ser explicada (derivada) a partir da conservação do momento linear.
- Assumo um contexto clássico (não relativístico) e um sistema de partículas isolado (ou seja, sem forças externas). Se houver forças externas, a conservação do momento do sistema em geral não vale.
- Notação que vou usar (para deixar tudo claro):
-
é o momento linear da partícula . -
é a força exercida pela partícula sobre a partícula . - Para duas partículas chamarei elas de partícula 1 e partícula 2; em seguida generalizo para
partículas.
-
- Observação importante: neste passo apenas listei as hipóteses e as variáveis; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Definição básica e enunciado da conservação do momento linear que vou usar:
- O momento linear de uma partícula de massa
e velocidade é
- Para um sistema isolado de partículas, a conservação do momento linear diz que o momento total do sistema é constante no tempo. Para duas partículas isso significa
Aqui
e
são os momentos lineares das partículas 1 e 2.
Passo 3
Relacionando derivada do momento com forças (lei de Newton para cada partícula):
- Pela Segunda Lei de Newton, a derivada do momento de cada partícula é igual à força resultante sobre ela. Para a partícula 1:
e para a partícula 2:
- Se o sistema é isolado não há forças externas; assim a força resultante sobre cada partícula é apenas a força interna vinda da outra partícula. Portanto podemos escrever
onde, por definição,
é a força em 1 devida a 2 e
é a força em 2 devida a 1.
Passo 4
Aplicando conservação do momento ao par de partículas:
- A conservação do momento para o sistema isolado dá
- Substituindo as expressões das forças internas do Passo 3:
- Daí tiramos diretamente a igualdade vetorial que é a forma da Terceira Lei de Newton:
Passo 5
Interpretação física passo a passo (mastigando para a prova):
- A equação
diz: se a partícula 2 empurra a partícula 1 com certa força (direção e intensidade), então a partícula 1 empurra a 2 com a mesma intensidade e direção oposta. - A derivação mostrou que isso é exatamente a condição necessária para que o momento total do par não mude (isolado): qualquer aumento de momento de uma partícula deve ser compensado por redução igual do momento da outra.
- Na prova, um bom argumento curto: partir de
e usar leva imediatamente a .
Passo 6
Generalização para
partículas e limitações do argumento:
- Para
partículas isoladas a conservação total do momento dá
- Separando forças externas (aqui nulas) e forças internas, obtemos que a soma de todas as forças internas é zero:
- Atenção: a conservação do momento garante que a soma das forças internas é zero, mas não implica, por si só, que cada par de partículas obedece
— para concluir a lei par a par precisa-se da suposição adicional de que as interações são entre pares e que não há dependência temporal retardada ou armazenamento de momento em outro “ser” (como um campo). Em muitos casos físicos clássicos de forças instantâneas e pairwise (forças derivadas de potenciais que dependem apenas das posições relativas), pode-se mostrar que as forças são par a par iguais e opostas. - Portanto: conservação do momento + hipóteses físicas razoáveis (interações pairwise, sem campos que carreguem momento) => Terceira Lei par a par.
Passo 7
A implicação reversa (como prova de entendimento): Terceira Lei implica conservação do momento
- Se para todo par
vale , então somando as equações de movimento de todas as partículas:
- Se não há forças externas (
) e as forças internas satisfazem , os pares se cancelam na soma, resultando em
ou seja, o momento total é conservado.
- Conclusão: sob as mesmas hipóteses (forças par a par e sem forças externas) Newton III e conservação do momento são equivalentes.
Passo 8
Observações finais úteis para a prova (motivações e exceções que valem ponto em respostas mais completas)
- Em eletromagnetismo clássico as forças entre cargas não obedecem sempre
instantaneamente (devido a efeitos retardados), mas o momento total (partículas + campo eletromagnético) é conservado: o momento perdido por partículas vai para o campo. Isso ilustra que a conservação do momento é mais fundamental e que a Terceira Lei é um caso particular quando não precisamos considerar o transporte de momento por campos. - Do ponto de vista mais moderno, a conservação do momento decorre da invariância das leis da física por translação espacial (Teorema de Noether). A Terceira Lei é, então, uma manifestação concreta dessa conservação em sistemas com interações localizadas entre partículas.
- Dica de prova: comece definindo o sistema isolado, escreva
, use a Segunda Lei e mostre o cancelamento das forças internas; esse caminho é curto e limpo e ganha pontos por clareza.