A Terceira Lei de Newton pode ser explicada a partir da conservação do momento linear. Elabore.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que vou assumir (tudo claro para a prova):
  • Pedido: mostrar como a Terceira Lei de Newton pode ser explicada (derivada) a partir da conservação do momento linear.
  • Assumo um contexto clássico (não relativístico) e um sistema de partículas isolado (ou seja, sem forças externas). Se houver forças externas, a conservação do momento do sistema em geral não vale.
  • Notação que vou usar (para deixar tudo claro):
    • \vec p_i é o momento linear da partícula i.
    • \vec F_{ij} é a força exercida pela partícula j sobre a partícula i.
    • Para duas partículas chamarei elas de partícula 1 e partícula 2; em seguida generalizo para N partículas.
  • Observação importante: neste passo apenas listei as hipóteses e as variáveis; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Definição básica e enunciado da conservação do momento linear que vou usar:
  • O momento linear de uma partícula de massa m e velocidade \vec v é
\vec p = m\,\vec v.
  • Para um sistema isolado de partículas, a conservação do momento linear diz que o momento total do sistema é constante no tempo. Para duas partículas isso significa
\frac{d}{dt}\bigl(\vec p_1 + \vec p_2\bigr) = \vec 0.
Aqui \vec p_1 e \vec p_2 são os momentos lineares das partículas 1 e 2.

Passo 3

Relacionando derivada do momento com forças (lei de Newton para cada partícula):
  • Pela Segunda Lei de Newton, a derivada do momento de cada partícula é igual à força resultante sobre ela. Para a partícula 1:
\frac{d\vec p_1}{dt} = \vec F_{\text{res},1},
e para a partícula 2:
\frac{d\vec p_2}{dt} = \vec F_{\text{res},2}.
  • Se o sistema é isolado não há forças externas; assim a força resultante sobre cada partícula é apenas a força interna vinda da outra partícula. Portanto podemos escrever
\frac{d\vec p_1}{dt} = \vec F_{12}, \qquad \frac{d\vec p_2}{dt} = \vec F_{21},
onde, por definição, \vec F_{12} é a força em 1 devida a 2 e \vec F_{21} é a força em 2 devida a 1.

Passo 4

Aplicando conservação do momento ao par de partículas:
  • A conservação do momento para o sistema isolado dá
\frac{d}{dt}\bigl(\vec p_1 + \vec p_2\bigr) = \frac{d\vec p_1}{dt} + \frac{d\vec p_2}{dt} = \vec 0.
  • Substituindo as expressões das forças internas do Passo 3:
\vec F_{12} + \vec F_{21} = \vec 0.
  • Daí tiramos diretamente a igualdade vetorial que é a forma da Terceira Lei de Newton:
\vec F_{12} = -\,\vec F_{21}.

Passo 5

Interpretação física passo a passo (mastigando para a prova):
  • A equação \vec F_{12} = -\,\vec F_{21} diz: se a partícula 2 empurra a partícula 1 com certa força (direção e intensidade), então a partícula 1 empurra a 2 com a mesma intensidade e direção oposta.
  • A derivação mostrou que isso é exatamente a condição necessária para que o momento total do par não mude (isolado): qualquer aumento de momento de uma partícula deve ser compensado por redução igual do momento da outra.
  • Na prova, um bom argumento curto: partir de \dfrac{d}{dt}(\vec p_1+\vec p_2)=\vec 0 e usar \dfrac{d\vec p_i}{dt}=\vec F_{ji} leva imediatamente a \vec F_{12}=-\vec F_{21}.

Passo 6

Generalização para N partículas e limitações do argumento:
  • Para N partículas isoladas a conservação total do momento dá
\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^N \vec p_i = \sum_{i=1}^N \frac{d\vec p_i}{dt} = \sum_{i=1}^N \vec F_{\text{res},i} = \vec 0.
  • Separando forças externas (aqui nulas) e forças internas, obtemos que a soma de todas as forças internas é zero:
\sum_{i=1}^N \sum_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^N \vec F_{ij} = \vec 0.
  • Atenção: a conservação do momento garante que a soma das forças internas é zero, mas não implica, por si só, que cada par de partículas obedece \vec F_{ij}=-\vec F_{ji} — para concluir a lei par a par precisa-se da suposição adicional de que as interações são entre pares e que não há dependência temporal retardada ou armazenamento de momento em outro “ser” (como um campo). Em muitos casos físicos clássicos de forças instantâneas e pairwise (forças derivadas de potenciais que dependem apenas das posições relativas), pode-se mostrar que as forças são par a par iguais e opostas.
  • Portanto: conservação do momento + hipóteses físicas razoáveis (interações pairwise, sem campos que carreguem momento) => Terceira Lei par a par.

Passo 7

A implicação reversa (como prova de entendimento): Terceira Lei implica conservação do momento
  • Se para todo par i,j vale \vec F_{ij} = -\vec F_{ji}, então somando as equações de movimento de todas as partículas:
\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^N \vec p_i = \sum_{i=1}^N \vec F_{\text{res},i} = \sum_{i=1}^N \left(\sum_{j\neq i}\vec F_{ij} + \vec F_{\text{ext},i}\right).
  • Se não há forças externas ( \vec F_{\text{ext},i}=\vec 0) e as forças internas satisfazem \vec F_{ij}=-\vec F_{ji}, os pares se cancelam na soma, resultando em
\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^N \vec p_i = \vec 0,
ou seja, o momento total é conservado.
  • Conclusão: sob as mesmas hipóteses (forças par a par e sem forças externas) Newton III e conservação do momento são equivalentes.

Passo 8

Observações finais úteis para a prova (motivações e exceções que valem ponto em respostas mais completas)
  • Em eletromagnetismo clássico as forças entre cargas não obedecem sempre \vec F_{12}=-\vec F_{21} instantaneamente (devido a efeitos retardados), mas o momento total (partículas + campo eletromagnético) é conservado: o momento perdido por partículas vai para o campo. Isso ilustra que a conservação do momento é mais fundamental e que a Terceira Lei é um caso particular quando não precisamos considerar o transporte de momento por campos.
  • Do ponto de vista mais moderno, a conservação do momento decorre da invariância das leis da física por translação espacial (Teorema de Noether). A Terceira Lei é, então, uma manifestação concreta dessa conservação em sistemas com interações localizadas entre partículas.
  • Dica de prova: comece definindo o sistema isolado, escreva \dfrac{d}{dt}(\sum \vec p_i)=\vec 0, use a Segunda Lei e mostre o cancelamento das forças internas; esse caminho é curto e limpo e ganha pontos por clareza.

Resposta

\vec F_{12} = -\,\vec F_{21}

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