Uma pedra é deixada cair em
. Uma segunda pedra, com uma massa duas vezes maior, é deixada cair do mesmo ponto emt
. Despreza a resistência do ar.
a) A que distância do ponto inicial da queda está o centro de massa das duas pedras em t=300 ms? (Suponha que as pedras ainda não chegaram ao solo.)
b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas pedras nesse instante?
a) A que distância do ponto inicial da queda está o centro de massa das duas pedras em t=300 ms? (Suponha que as pedras ainda não chegaram ao solo.)
b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas pedras nesse instante?
Passo 1
O enunciado e os dados que temos (vou colocar tudo em unidades SI para ficar claro):
- Há duas pedras soltas a cair do mesmo ponto vertical.
- Massa da primeira pedra:
. - Massa da segunda pedra:
. - A primeira pedra é largada em
. - A segunda pedra é largada em
. - Queremos as grandezas no instante
(supõe-se que nenhuma atingiu o solo até esse instante).
O que o enunciado pede:
(a) A que distância do ponto inicial da queda está o centro de massa das duas pedras em .
(b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas pedras nesse instante.
(a) A que distância do ponto inicial da queda está o centro de massa das duas pedras em
(b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas pedras nesse instante.
Passo 2
Modelos físicos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Movimentação em queda livre sem resistência do ar, largadas com velocidade inicial nula. Para uma partícula que parte do repouso e cai por um tempo
sob aceleração constante (aceleração da gravidade), a posição vertical medida a partir do ponto de largada é
onde
é o deslocamento para baixo (escolhemos o sentido para baixo positivo),
é a aceleração da gravidade e
é o tempo de queda da pedra.
- A velocidade dessa pedra após tempo
é
com o mesmo sentido (para baixo).
- O centro de massa de um sistema de duas partículas com massas
e e posições e é dado por
- A velocidade do centro de massa é a média ponderada das velocidades:
Observação prática: usarei
(valor padrão aproximado).
Passo 3
Determinar os tempos de queda de cada pedra até
:
- Tempo de queda da pedra 1:
. - Tempo de queda da pedra 2:
.
Passo 4
Calcular os deslocamentos individuais usando
.
Para a pedra 1:
Passo a passo da conta:
.
.
.
Portanto
Portanto
Para a pedra 2:
Passo a passo:
.
.
.
Portanto
Portanto
Passo 5
Calcular a posição do centro de massa usando
. Substituindo
e
(o
cancela):
Substituir os valores numéricos:
Arredondando com três algarismos significativos:
Interpretação: o centro de massa está a
abaixo do ponto inicial de largada no instante pedido.
Passo 6
Calcular as velocidades individuais usando
.
Para a pedra 1:
Para a pedra 2:
Passo 7
Calcular a velocidade do centro de massa por média ponderada:
Substituindo números:
Arredondando:
com sentido para baixo.
Passo 8
Breve verificação conceitual (para fixar a ideia): a aceleração do centro de massa do sistema também é
, porque a força externa total é
para baixo. Assim, a velocidade do centro de massa cresce linearmente com o tempo, e o resultado numérico obtido pela média ponderada das velocidades individuais está coerente com isso.