Uma pedra é deixada cair em t=0. Uma segunda pedra, com uma massa duas vezes maior, é deixada cair do mesmo ponto emt =100 \mathrm{~ms}. Despreza a resistência do ar.
a) A que distância do ponto inicial da queda está o centro de massa das duas pedras em t=300 ms? (Suponha que as pedras ainda não chegaram ao solo.)
b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas pedras nesse instante?

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (vou colocar tudo em unidades SI para ficar claro):
  • Há duas pedras soltas a cair do mesmo ponto vertical.
  • Massa da primeira pedra: m_1=m.
  • Massa da segunda pedra: m_2=2m.
  • A primeira pedra é largada em t=0.
  • A segunda pedra é largada em t=100\\ \mathrm{ms}=0,1\\ \mathrm{s}.
  • Queremos as grandezas no instante t=300\\ \mathrm{ms}=0,3\\ \mathrm{s} (supõe-se que nenhuma atingiu o solo até esse instante).
O que o enunciado pede:
(a) A que distância do ponto inicial da queda está o centro de massa das duas pedras em t=0,3\\ \mathrm{s}.
(b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas pedras nesse instante.

Passo 2

Modelos físicos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Movimentação em queda livre sem resistência do ar, largadas com velocidade inicial nula. Para uma partícula que parte do repouso e cai por um tempo \tau sob aceleração constante \,g (aceleração da gravidade), a posição vertical medida a partir do ponto de largada é
y(\tau)=\tfrac{1}{2}\,g\,\tau^{2},
onde y é o deslocamento para baixo (escolhemos o sentido para baixo positivo), g é a aceleração da gravidade e \tau é o tempo de queda da pedra.
  • A velocidade dessa pedra após tempo \tau é
v(\tau)=g\,\tau,
com o mesmo sentido (para baixo).
  • O centro de massa de um sistema de duas partículas com massas m_1 e m_2 e posições y_1 e y_2 é dado por
y_{\text{cm}}=\frac{m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
  • A velocidade do centro de massa é a média ponderada das velocidades:
v_{\text{cm}}=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Observação prática: usarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão aproximado).

Passo 3

Determinar os tempos de queda de cada pedra até t=0,3\\ \mathrm{s}:
  • Tempo de queda da pedra 1: \tau_{1}=0,3\\ \mathrm{s}-0=0,3\\ \mathrm{s}.
  • Tempo de queda da pedra 2: \tau_{2}=0,3\\ \mathrm{s}-0,1\\ \mathrm{s}=0,2\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular os deslocamentos individuais usando y(\tau)=\tfrac{1}{2}g\tau^{2}.
Para a pedra 1:
y_{1}=\tfrac{1}{2}\,g\,\tau_{1}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 9,8\cdot (0,3)^{2}.
Passo a passo da conta:
(0,3)^{2}=0,09.
9,8\cdot 0,09=0,882.
\tfrac{1}{2}\cdot 0,882=0,441.
Portanto
y_{1}=0,441\\ \mathrm{m}.
Para a pedra 2:
y_{2}=\tfrac{1}{2}\,g\,\tau_{2}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 9,8\cdot (0,2)^{2}.
Passo a passo:
(0,2)^{2}=0,04.
9,8\cdot 0,04=0,392.
\tfrac{1}{2}\cdot 0,392=0,196.
Portanto
y_{2}=0,196\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a posição do centro de massa usando y_{\text{cm}}=\dfrac{m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}. Substituindo m_{1}=m e m_{2}=2m (o m cancela):
y_{\text{cm}}=\frac{y_{1}+2y_{2}}{3}.
Substituir os valores numéricos:
y_{\text{cm}}=\frac{0,441+2\cdot 0,196}{3}=\frac{0,441+0,392}{3}=\frac{0,833}{3}=0,277666\ldots
Arredondando com três algarismos significativos:
y_{\text{cm}}\approx 0,278\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o centro de massa está a 0,278\\ \mathrm{m} abaixo do ponto inicial de largada no instante pedido.

Passo 6

Calcular as velocidades individuais usando v(\tau)=g\tau.
Para a pedra 1:
v_{1}=g\,\tau_{1}=9,8\cdot 0,3=2,94\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(para baixo)}.
Para a pedra 2:
v_{2}=g\,\tau_{2}=9,8\cdot 0,2=1,96\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(para baixo)}.

Passo 7

Calcular a velocidade do centro de massa por média ponderada:
v_{\text{cm}}=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{v_{1}+2v_{2}}{3}.
Substituindo números:
v_{\text{cm}}=\frac{2,94+2\cdot 1,96}{3}=\frac{2,94+3,92}{3}=\frac{6,86}{3}=2,2866\ldots
Arredondando:
v_{\text{cm}}\approx 2,29\\ \mathrm{m/s},
com sentido para baixo.

Passo 8

Breve verificação conceitual (para fixar a ideia): a aceleração do centro de massa do sistema também é g, porque a força externa total é (m_{1}+m_{2})g para baixo. Assim, a velocidade do centro de massa cresce linearmente com o tempo, e o resultado numérico obtido pela média ponderada das velocidades individuais está coerente com isso.

Resposta

0,278\\ \mathrm{m} abaixo do ponto inicial de queda
2,29\\ \mathrm{m/s} para baixo

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