Um automóvel de 1000 kg está parado em um sinal de trânsito. No instante em que o sinal abre, o automóvel começa a se mover com uma aceleração constante
. No mesmo instante, um caminhão de 2000 kg , movendo-se no mesmo sentido com velocidade constante de
, ultrapassa o automóvel.
a) Qual é a distância entre o CM do sistema carro-caminhão e o sinal de trânsito em t
?
b) Qual é a velocidade do CM nesse instante?
a) Qual é a distância entre o CM do sistema carro-caminhão e o sinal de trânsito em t
b) Qual é a velocidade do CM nesse instante?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas as quantidades numéricas estão colocadas tal como no enunciado):
- Massa do automóvel:
. - O automóvel está parado no sinal no instante inicial e, a partir de
, acelera com aceleração constante . - Massa do caminhão:
. - No mesmo instante
o caminhão ultrapassa o automóvel, movendo-se com velocidade constante . - Perguntas:
(a) Qual é a distância entre o centro de massa do sistema carro+caminhão e o sinal de trânsito em?
(b) Qual é a velocidade do centro de massa nesse instante?
Observação importante (definição do referencial):
- Vou adotar um eixo com origem no sinal de trânsito (
) e direção positiva no sentido do movimento. No instante os dois veículos estão no mesmo lugar (o caminhão está ultrapassando o carro), logo as posições iniciais são e .
Passo 2
Conceito e fórmula do centro de massa (CM) para um sistema discreto de duas massas:
- O centro de massa de duas partículas (ou corpos) com massas
e e posições e é dado por
- A velocidade do CM é a derivada temporal da posição do CM. Para massas constantes isso equivale à média ponderada das velocidades:
Explicação rápida: cada massa “puxa” o CM para mais perto de si na proporção de sua massa; por isso o peso
e
aparecem na média ponderada.
Passo 3
Escrever as equações do movimento de cada veículo e calcular suas posições e velocidades em
.
Para o automóvel (aceleração constante, partindo do repouso):
- Equação da posição (MRUV):
Aqui
e
, então
- Equação da velocidade:
Para o caminhão (movimento retilíneo uniforme):
- Posição:
Aqui
, então
- Velocidade:
constante.
Agora avaliar em
:
- Para o automóvel:
Calcule passo a passo:
Portanto
- Velocidade do automóvel em
:
- Para o caminhão:
e
Passo 4
Calcular a posição do centro de massa em
usando a fórmula do Passo 2.
Total de massa:
Aplicando a fórmula
Calcule os produtos e a soma:
Dividindo:
Interpretação curta: o CM está a
do sinal, entre os veículos, mais próximo do caminhão porque ele é mais pesado.
Passo 5
Calcular a velocidade do centro de massa em
.
Usando a média ponderada das velocidades:
Calcule os termos:
Dividindo:
Observação didática: a velocidade do CM não depende de onde escolhemos a origem, e pode ser obtida também derivando
em função do tempo (o resultado é o mesmo).
Resposta
(a)
(b)