Um automóvel de 1000 kg está parado em um sinal de trânsito. No instante em que o sinal abre, o automóvel começa a se mover com uma aceleração constante 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. No mesmo instante, um caminhão de 2000 kg , movendo-se no mesmo sentido com velocidade constante de 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, ultrapassa o automóvel.
a) Qual é a distância entre o CM do sistema carro-caminhão e o sinal de trânsito em t =3,0 \mathrm{~s} ?
b) Qual é a velocidade do CM nesse instante?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as quantidades numéricas estão colocadas tal como no enunciado):
  • Massa do automóvel: m_c = 1000\\ \mathrm{kg}.
  • O automóvel está parado no sinal no instante inicial e, a partir de t=0, acelera com aceleração constante a = 4,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Massa do caminhão: m_t = 2000\\ \mathrm{kg}.
  • No mesmo instante t=0 o caminhão ultrapassa o automóvel, movendo-se com velocidade constante v_t = 8,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a distância entre o centro de massa do sistema carro+caminhão e o sinal de trânsito em t=3,0\\ \mathrm{s}?
    (b) Qual é a velocidade do centro de massa nesse instante?
Observação importante (definição do referencial):
  • Vou adotar um eixo com origem no sinal de trânsito ( x=0) e direção positiva no sentido do movimento. No instante t=0 os dois veículos estão no mesmo lugar (o caminhão está ultrapassando o carro), logo as posições iniciais são x_c(0)=0 e x_t(0)=0.

Passo 2

Conceito e fórmula do centro de massa (CM) para um sistema discreto de duas massas:
  • O centro de massa de duas partículas (ou corpos) com massas m_c e m_t e posições x_c(t) e x_t(t) é dado por
x_{\mathrm{CM}}(t)=\frac{m_c\,x_c(t)+m_t\,x_t(t)}{m_c+m_t}.
  • A velocidade do CM é a derivada temporal da posição do CM. Para massas constantes isso equivale à média ponderada das velocidades:
v_{\mathrm{CM}}(t)=\frac{m_c\,v_c(t)+m_t\,v_t(t)}{m_c+m_t}.
Explicação rápida: cada massa “puxa” o CM para mais perto de si na proporção de sua massa; por isso o peso m_c e m_t aparecem na média ponderada.

Passo 3

Escrever as equações do movimento de cada veículo e calcular suas posições e velocidades em t=3,0\\ \mathrm{s}.
Para o automóvel (aceleração constante, partindo do repouso):
  • Equação da posição (MRUV):
x_c(t)=x_c(0)+v_c(0)\,t+\tfrac{1}{2}a t^{2}.
Aqui x_c(0)=0 e v_c(0)=0, então
x_c(t)=\tfrac{1}{2}a t^{2}.
  • Equação da velocidade:
v_c(t)=v_c(0)+a t = a t.
Para o caminhão (movimento retilíneo uniforme):
  • Posição:
x_t(t)=x_t(0)+v_t\,t.
Aqui x_t(0)=0, então
x_t(t)=v_t t.
  • Velocidade: v_t(t)=v_t constante.
Agora avaliar em t=3,0\\ \mathrm{s}:
  • Para o automóvel:
x_c(3,0)=\tfrac{1}{2}\cdot 4,0\cdot (3,0)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 4,0\cdot 9,0.
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot 4,0 = 2,0, \qquad 2,0\cdot 9,0 = 18,0.
Portanto x_c(3,0)=18,0\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade do automóvel em t=3,0\\ \mathrm{s}:
v_c(3,0)=a t = 4,0\cdot 3,0 = 12,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Para o caminhão:
x_t(3,0)=v_t t = 8,0\cdot 3,0 = 24,0\\ \mathrm{m},
e v_t(3,0)=8,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a posição do centro de massa em t=3,0\\ \mathrm{s} usando a fórmula do Passo 2.
Total de massa:
M=m_c+m_t=1000+2000=3000\\ \mathrm{kg}.
Aplicando a fórmula
x_{\mathrm{CM}}(3,0)=\frac{m_c\,x_c(3,0)+m_t\,x_t(3,0)}{M} =\frac{1000\cdot 18,0 + 2000\cdot 24,0}{3000}.
Calcule os produtos e a soma:
1000\cdot 18,0 = 18000,\qquad 2000\cdot 24,0 = 48000,
18000+48000 = 66000.
Dividindo:
x_{\mathrm{CM}}(3,0)=\frac{66000}{3000}=22,0\\ \mathrm{m}.
Interpretação curta: o CM está a 22,0\\ \mathrm{m} do sinal, entre os veículos, mais próximo do caminhão porque ele é mais pesado.

Passo 5

Calcular a velocidade do centro de massa em t=3,0\\ \mathrm{s}.
Usando a média ponderada das velocidades:
v_{\mathrm{CM}}(3,0)=\frac{m_c\,v_c(3,0)+m_t\,v_t(3,0)}{M} =\frac{1000\cdot 12,0 + 2000\cdot 8,0}{3000}.
Calcule os termos:
1000\cdot 12,0 = 12000,\qquad 2000\cdot 8,0 = 16000,
12000+16000 = 28000.
Dividindo:
v_{\mathrm{CM}}(3,0)=\frac{28000}{3000}=\frac{28}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 9,33\\ \mathrm{m/s}.
Observação didática: a velocidade do CM não depende de onde escolhemos a origem, e pode ser obtida também derivando x_{\mathrm{CM}}(t) em função do tempo (o resultado é o mesmo).

Resposta

(a) 22,0\\ \mathrm{m}
(b) \dfrac{28}{3}\\ \mathrm{m/s}\\ \approx 9,33\\ \mathrm{m/s}

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