A densidade do diamante é 3,52 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} e a da grafita é 2,25 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3}. A 25^{\circ} \mathrm{C} a energia de Gibbs de formação do diamante, a partir da grafita, é 2,900 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}. A 25^{\circ} \mathrm{C}, qual a pressão que deve ser aplicada para estabelecer o equilíbrio entre o diamante e a grafita.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pedem: qual a pressão que deve ser aplicada, a 25^\circ\mathrm{C}, para estabelecer o equilíbrio entre o diamante e a grafita (reação: grafita \to diamante).
  • Dados fornecidos:
    • Densidade do diamante: \rho_{\text{dia}}=3{,}52\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
    • Densidade da grafita: \rho_{\text{gra}}=2{,}25\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
    • Energia de Gibbs de formação do diamante a partir da grafita (a 25^\circ\mathrm{C}, e à pressão padrão P^\circ): \Delta G^\circ = 2{,}900\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
  • Observações úteis (não resolvo ainda):
    • Para converter densidades e massas molares para volumes molares vou usar a massa molar do carbono: M_{\mathrm{C}}=12{,}01\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
    • A pressão padrão será tomada como P^\circ=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • Vou precisar converter volumes em \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}} para usar unidades SI.

Passo 2

Princípio físico que usamos (aula rápida e intuitiva).
  • A energia de Gibbs de uma substância depende da pressão e da temperatura. A variação infinitesimal de G com pressão, a temperatura fixa, é dada por:
dG = V\,dP,
onde V é o volume molar.
  • Para uma reação (grafita \to diamante) a variação correspondente é:
d(\Delta G) = \Delta V\, dP,
onde \Delta V = V_{\text{dia}} - V_{\text{gra}} é a diferença dos volumes molares (por mol de reação).
  • Integrando de P^\circ até uma pressão P (temperatura constante), assumindo \Delta V praticamente constante (bom para sólidos), obtemos:
\Delta G(P) = \Delta G^\circ + \Delta V\,(P - P^\circ).
  • Equilíbrio entre fases ocorre quando \Delta G(P_{\text{eq}})=0. Assim:
0=\Delta G^\circ + \Delta V\,(P_{\text{eq}}-P^\circ) \quad\Rightarrow\quad P_{\text{eq}} = P^\circ - \dfrac{\Delta G^\circ}{\Delta V}.
Explicação da fórmula: se \Delta G^\circ>0 (grafita mais estável à P^\circ), aplicar pressão pode favorecer a fase de menor volume (diamante) porque o termo \Delta V\,(P-P^\circ) pode tornar \Delta G nulo.

Passo 3

Calcular os volumes molares a partir das densidades (aula prática: como passar densidade para volume molar).
  • Fórmula: o volume molar V_m em \mathrm{cm^{3}\\ mol^{-1}} é
V_m = \dfrac{M}{\rho},
onde M é a massa molar em \mathrm{g\\ mol^{-1}} e \rho em \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
  • Para o diamante:
V_{\text{dia}} = \dfrac{M_{\mathrm{C}}}{\rho_{\text{dia}}} = \dfrac{12{,}01}{3{,}52}\\ \mathrm{cm^{3}\\ mol^{-1}}.
Faço a divisão passo a passo:
\dfrac{12{,}01}{3{,}52}\approx3{,}4119\\ \mathrm{cm^{3}\\ mol^{-1}}.
  • Para a grafita:
V_{\text{gra}} = \dfrac{12{,}01}{2{,}25}\\ \mathrm{cm^{3}\\ mol^{-1}} \approx5{,}3378\\ \mathrm{cm^{3}\\ mol^{-1}}.
  • Converter para \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}} (usar 1\\ \mathrm{cm^{3}}=10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}):
V_{\text{dia}} \approx 3{,}4119\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}}, \qquad V_{\text{gra}} \approx 5{,}3378\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}}.

Passo 4

Calcular \Delta V e interpretar o sinal.
  • Diferença de volumes molares:
\Delta V = V_{\text{dia}}-V_{\text{gra}} \approx 3{,}4119\times10^{-6} - 5{,}3378\times10^{-6} = -1{,}9259\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}}.
  • Interpretação: \Delta V<0 significa que o diamante ocupa menos volume por mol que a grafita (faz sentido: diamante é mais denso). Esse sinal negativo é crucial: ao aumentar P o termo \Delta V\,(P-P^\circ) fica negativo, podendo compensar \Delta G^\circ>0.

Passo 5

Colocar tudo na fórmula e calcular a pressão de equilíbrio (etapas de conta e conversões).
  • Primeiro, converto \Delta G^\circ para unidades SI (joules por mol):
\Delta G^\circ = 2{,}900\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} = 2{,}900\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} = 2{,}900\\ \text{J}\times10^{0}\\ (\text{já em J/mol}),á
ou mais diretamente \Delta G^\circ = 2{,}900\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
(Para clareza numérica usarei \Delta G^\circ = 2{,}900\cdot10^{3}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.)
  • Usar a fórmula do passo 2:
P_{\text{eq}} = P^\circ - \dfrac{\Delta G^\circ}{\Delta V}.
  • Inserindo números (com P^\circ=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, \Delta G^\circ=2{,}900\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}, \Delta V=-1{,}9259\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}}):
P_{\text{eq}} = 1{,}0\times10^{5} - \dfrac{2{,}900\times10^{3}}{-1{,}9259\times10^{-6}}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular o quociente:
\dfrac{2{,}900\times10^{3}}{1{,}9259\times10^{-6}} \approx 1{,}505\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Observe o sinal: como \Delta V é negativo, o denominador já tem sinal negativo e a subtração torna-se adição grosseira (ou seja P_{\text{eq}} é grande e positiva).
  • Assim:
P_{\text{eq}} \approx 1{,}0\times10^{5} + 1{,}505\times10^{9} \approx 1{,}5051\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Arredondando com três algarismos significativos:
P_{\text{eq}}\approx 1{,}51\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} = 1{,}51\\ \mathrm{GPa}.
  • Comentário prático: este valor está na ordem de gigapascal (GPa), coerente com pressões usadas em síntese de diamantes (dezenas a centenas de milhares de atmosferas). Em atmosferas: \dfrac{1{,}51\times10^{9}}{1{,}01325\times10^{5}}\approx1{,}49\times10^{4}\\ \text{atm} (cerca de 1{,}5\times10^{4} atm).

Resposta

\,P_{\text{eq}} \approx 1{,}51\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 1{,}51\\ \mathrm{GPa})

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