Extra 5. Considere F(x)=\int_{2}^{x} \frac{t^{2}-1}{t^{2}+1} d t. Ache:
(a) os intervalos nos quais F é crescente e onde é decrescente;
(b) os intervalos nos quais o gráfico de F possui concavidade para baixo e onde é para cima;
(c) o valor de x onde F atinge um mínimo local e o valor onde atinge um máximo local.

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{2}^{x}\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}\,dt
e pede (a) onde F é crescente ou decrescente, (b) onde o gráfico de F é côncavo para cima ou para baixo, e (c) os pontos de mínimo e máximo locais. Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter F'(x), analisar seu sinal para monotonicidade, depois calcular F''(x) e analisar seu sinal para concavidade, e por fim usar essas informações para identificar extremos locais.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de F é
F'(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}.
Para estudar monotonicidade, determinamos onde F'(x) é positivo, negativo ou zero. O numerador muda de sinal em x=\pm1, e o denominador é sempre positivo.

Passo 3

O sinal de F'(x)\) é dado por \[x^{2}-1\begin{cases} >0,&\text{se }|x|>1,\\\ =0,&\text{se }x=\pm1,\\\ <0,&\text{se }|x|<1. \end{cases}
Logo, F\] é crescente onde \(|x|>1, isto é em (-\infty,-1)\cup(1,\infty), e decrescente onde -1<x<1.

Passo 4

Para a concavidade, calculamos
F''(x)=\biggl(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\biggr)' =\frac{2x(x^{2}+1)-2x(x^{2}-1)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Como (x^{2}+1)^{2}>0 sempre, o sinal de F''(x) coincide com o de x.

Passo 5

Da expressão de F''(x) concluímos que F é côncava para baixo quando x<0 e côncava para cima quando x>0. Os pontos críticos de F são x=-1 e x=1. Em x=-1 a derivada passa de positiva para negativa, caracterizando um máximo local. Em x=1 a derivada passa de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local.

Resposta

(a) F é crescente em (-\infty,-1)\cup(1,\infty) e decrescente em (-1,1).
(b) F é côncava para baixo em (-\infty,0) e côncava para cima em (0,\infty).
(c) máximo local em x=-1 e mínimo local em x=1.

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