Extra 5. Considere
. Ache:
(a) os intervalos nos quais
é crescente e onde é decrescente;
(b) os intervalos nos quais o gráfico de
possui concavidade para baixo e onde é para cima;
(c) o valor de
onde
atinge um mínimo local e o valor onde atinge um máximo local.
(a) os intervalos nos quais
(b) os intervalos nos quais o gráfico de
(c) o valor de
Passo 1
O enunciado define
e pede (a) onde
é crescente ou decrescente, (b) onde o gráfico de
é côncavo para cima ou para baixo, e (c) os pontos de mínimo e máximo locais. Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter
, analisar seu sinal para monotonicidade, depois calcular
e analisar seu sinal para concavidade, e por fim usar essas informações para identificar extremos locais.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
é
Para estudar monotonicidade, determinamos onde
é positivo, negativo ou zero. O numerador muda de sinal em
, e o denominador é sempre positivo.
Passo 3
O sinal de
Logo,
, isto é em
, e decrescente onde
.
Passo 4
Para a concavidade, calculamos
Como
sempre, o sinal de
coincide com o de
.
Passo 5
Da expressão de
concluímos que
é côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
. Os pontos críticos de
são
e
. Em
a derivada passa de positiva para negativa, caracterizando um máximo local. Em
a derivada passa de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local.
Resposta
(a)
é crescente em
e decrescente em
.
(b) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
(c) máximo local em e mínimo local em
.
(b)
(c) máximo local em