Extra 6. Sabendo que \int_{-1}^{3} f(s) d s=7 \mathrm{e} \int_{1}^{3} f(s) d s=3 determine \int_{-1}^{0} f(2 x+1) d x.

Passo 1

O enunciado fornece \displaystyle \int_{-1}^{3} f(s)\,ds = 7 e \displaystyle \int_{1}^{3} f(s)\,ds = 3 e pede \displaystyle \int_{-1}^{0} f(2x+1)\,dx. Vamos usar a técnica de substituição em integrais e a propriedade de aditividade de integrais definidas.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x + 1,\quad du = 2\,dx \implies dx = \frac{du}{2}.
Quando x=-1, u=-1; quando x=0, u=1. Assim,
\int_{-1}^{0} f(2x+1)\,dx = \int_{u=-1}^{1} f(u)\,\frac{du}{2} = \frac12 \int_{-1}^{1} f(u)\,du.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int_{-1}^{1} f(u)\,du usamos aditividade:
\int_{-1}^{1} f(u)\,du = \int_{-1}^{3} f(s)\,ds \;-\; \int_{1}^{3} f(s)\,ds.
Substituindo os valores conhecidos,
\int_{-1}^{1} f(u)\,du = 7 - 3 = 4.

Passo 4

Voltando à expressão com o fator \tfrac12:
\frac12 \int_{-1}^{1} f(u)\,du = \frac12 \cdot 4 = 2.

Resposta

2

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