Determine a função y(\theta) sabendo que:
\frac{d y}{d \theta}=\cos (5 \theta)+3 e y(\pi)=5 \pi;

Passo 1

O enunciado nos dá a derivada
\displaystyle \frac{dy}{d\theta} = \cos(5\theta) + 3
e a condição inicial y(\pi)=5\pi.
O conteúdo aqui é integração indefinida para recuperar y(\theta) a partir de sua derivada e depois usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos ambos os termos de \displaystyle \frac{dy}{d\theta}:
\int \cos(5\theta)\,d\theta = \frac{1}{5}\sin(5\theta),
\int 3\,d\theta = 3\theta.
Logo, a antiderivada geral é
y(\theta) = \frac{1}{5}\sin(5\theta) + 3\theta + C,
onde C é constante.

Passo 3

Usamos a condição y(\pi)=5\pi:
y(\pi) = \frac{1}{5}\sin(5\pi) + 3\pi + C = 0 + 3\pi + C = 5\pi
\Rightarrow C = 2\pi.

Resposta

y(\theta) = \frac{1}{5}\sin(5\theta) + 3\theta + 2\pi.

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