Determine a equação do plano
que contém o ponto
e a reta
.
Passo 1
O enunciado dá explicitamente duas informações que vou listar (são os dados que vou usar):
- Um ponto
que pertence ao plano . - Uma reta
dada por que também pertence ao plano .
O que o problema pede:
- Determinar a equação do plano
que contém o ponto e a reta .
Observação imediata (dados extraídos da reta): ao escrever
podemos extrair um ponto da reta e o vetor diretor:
- Para
obtemos um ponto da reta . - O vetor diretor da reta é
(porque a coordenada cresce linearmente com coeficiente em cada eixo).
Passo 2
Estratégia geométrica (a ação que vou executar): para obter a equação de um plano que contém uma reta e um ponto fora (ou dentro) dela, preciso de um vetor normal ao plano. Um modo simples de obter esse vetor normal é:
- pegar dois vetores que pertencem ao plano (por exemplo o vetor diretor da reta e o vetor que liga um ponto da reta até o ponto
); - calcular o produto vetorial (cross product) desses dois vetores; o resultado é um vetor perpendicular a ambos, ou seja, normal ao plano.
Vou construir esses dois vetores no plano:
- Vetor diretor da reta:
(já identifiquei no passo 1). - Vetor que liga o ponto
(ponto na reta) ao ponto : esse vetor é . Vou calcular .
Passo 3
Cálculo do vetor
:
Explicação rápida: subtrair coordenadas é a forma de obter o vetor entre dois pontos; a primeira componente é
, a segunda
, a terceira
.
Agora tenho dois vetores do plano:
Passo 4
Produto vetorial (o que é e a fórmula): o produto vetorial
em
gera um vetor perpendicular a
e
. Para vetores
e
a fórmula das componentes é
Aqui
e
são as componentes correspondentes dos vetores; o resultado é um vetor
ortogonal a ambos.
Vou aplicar essa fórmula com
e
:
Calculando cada componente:
Logo
Posso simplificar
dividindo por
(qualquer múltiplo não-nulo serve como normal). Assim uma escolha mais simples é
Se preferir trocar o sinal (também válido), obtenho
. Vou usar
porque deixa a equação com coeficiente positivo na primeira variável.
Passo 5
Equação cartesiana do plano a partir do vetor normal: se
é um vetor normal ao plano e
é um ponto no plano, a equação do plano é
ou mais comumente
Aqui o produto escalar
deve ser zero porque
é ortogonal a qualquer vetor do plano.
No nosso caso:
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Simplifico a expressão anterior:
Abrindo parênteses:
Os
e
se cancelam, sobrando
Isso é a equação do plano
. Verificação rápida (para ter segurança): qualquer ponto da reta
satisfaz
(pois
), e o ponto
também satisfaz
. Portanto a equação está correta.