Determine a equação do plano \pi que contém o ponto P(1,3,1) e a reta r(t)=(t, t, t).

Passo 1

O enunciado dá explicitamente duas informações que vou listar (são os dados que vou usar):
  • Um ponto P(1,3,1) que pertence ao plano \pi.
  • Uma reta r dada por r(t)=(t,t,t) que também pertence ao plano \pi.
O que o problema pede:
  • Determinar a equação do plano \pi que contém o ponto P e a reta r.
Observação imediata (dados extraídos da reta): ao escrever r(t)=(t,t,t) podemos extrair um ponto da reta e o vetor diretor:
  • Para t=0 obtemos um ponto da reta Q(0,0,0).
  • O vetor diretor da reta é \mathbf{v}=(1,1,1) (porque a coordenada cresce linearmente com coeficiente 1 em cada eixo).

Passo 2

Estratégia geométrica (a ação que vou executar): para obter a equação de um plano que contém uma reta e um ponto fora (ou dentro) dela, preciso de um vetor normal ao plano. Um modo simples de obter esse vetor normal é:
  • pegar dois vetores que pertencem ao plano (por exemplo o vetor diretor da reta e o vetor que liga um ponto da reta até o ponto P);
  • calcular o produto vetorial (cross product) desses dois vetores; o resultado é um vetor perpendicular a ambos, ou seja, normal ao plano.
Vou construir esses dois vetores no plano:
  • Vetor diretor da reta: \mathbf{v}=(1,1,1) (já identifiquei no passo 1).
  • Vetor que liga o ponto Q(0,0,0) (ponto na reta) ao ponto P(1,3,1): esse vetor é \mathbf{w}=P-Q. Vou calcular \mathbf{w}.

Passo 3

Cálculo do vetor \mathbf{w}:
\mathbf{w} = P-Q = (1,3,1)-(0,0,0) = (1,3,1).
Explicação rápida: subtrair coordenadas é a forma de obter o vetor entre dois pontos; a primeira componente é 1-0=1, a segunda 3-0=3, a terceira 1-0=1.
Agora tenho dois vetores do plano:
\mathbf{v}=(1,1,1),\qquad \mathbf{w}=(1,3,1).

Passo 4

Produto vetorial (o que é e a fórmula): o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w} em \mathbb{R}^3 gera um vetor perpendicular a \mathbf{v} e \mathbf{w}. Para vetores \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) a fórmula das componentes é
\mathbf{v}\times\mathbf{w} = (v_2w_3-v_3w_2,\; v_3w_1-v_1w_3,\; v_1w_2-v_2w_1).
Aqui v_i e w_i são as componentes correspondentes dos vetores; o resultado é um vetor \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3) ortogonal a ambos.
Vou aplicar essa fórmula com \mathbf{v}=(1,1,1) e \mathbf{w}=(1,3,1):
\mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}=(1\cdot1-1\cdot3,\; 1\cdot1-1\cdot1,\; 1\cdot3-1\cdot1).
Calculando cada componente:
n_1=1-3=-2,\qquad n_2=1-1=0,\qquad n_3=3-1=2.
Logo
\mathbf{n}=(-2,0,2).
Posso simplificar \mathbf{n} dividindo por 2 (qualquer múltiplo não-nulo serve como normal). Assim uma escolha mais simples é
\mathbf{n}=(-1,0,1).
Se preferir trocar o sinal (também válido), obtenho \mathbf{n}=(1,0,-1). Vou usar \mathbf{n}=(1,0,-1) porque deixa a equação com coeficiente positivo na primeira variável.

Passo 5

Equação cartesiana do plano a partir do vetor normal: se \mathbf{n}=(a,b,c) é um vetor normal ao plano e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto no plano, a equação do plano é
\mathbf{n}\cdot (x,y,z)-( \mathbf{n}\cdot P_0)=0,
ou mais comumente
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui o produto escalar \mathbf{n}\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0) deve ser zero porque \mathbf{n} é ortogonal a qualquer vetor do plano.
No nosso caso:
\mathbf{n}=(1,0,-1),\qquad P_0=P=(1,3,1).
Substituindo na fórmula:
1\cdot(x-1)+0\cdot(y-3)-1\cdot(z-1)=0.

Passo 6

Simplifico a expressão anterior:
(x-1) - (z-1) = 0.
Abrindo parênteses:
x-1 - z +1 = 0.
Os -1 e +1 se cancelam, sobrando
x - z = 0.
Isso é a equação do plano \pi. Verificação rápida (para ter segurança): qualquer ponto da reta r(t)=(t,t,t) satisfaz x=z (pois t=t), e o ponto P(1,3,1) também satisfaz 1-1=0. Portanto a equação está correta.

Resposta

x - z = 0

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