EXTRA Seja
uma curva no plano definida, parametricamente, por A letra
nas questões abaixo tem o valor do último dígito de sua matrícula. Use-o para responder as questões abaixo. Indique aqui seu valor de
Suponha que
e
são funções contínuas que não se anulam simultaneamente em
e que a curva
é percorrida exatamente uma vez quando
avança de
para
.
Nessas condições, o comprimento de
é dado pela integral definida
Calcule o comprimento da curva plana dada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva
definida por
usando a fórmula de comprimento de uma curva parametrizada
Vamos precisar:
- Calcular
e . - Substituir na raiz quadrada e montar a integral.
- Resolver a integral por substituição.
Passo 2
Calculamos as derivadas:
Logo, o integrando fica
Passo 3
Substituindo na fórmula de comprimento, obtemos
Fazemos a substituição
, de modo que
, isto é,
. Então
Passo 4
Integramos
:
Agora avaliamos de
a
:
Resposta
O comprimento da curva é