EXTRA Seja \mathcal{C} uma curva no plano definida, parametricamente, por A letra \Omega nas questões abaixo tem o valor do último dígito de sua matrícula. Use-o para responder as questões abaixo. Indique aqui seu valor de \Omega=
(x(t), y(t)), \text { com } a \leq t \leq b .
Suponha que x^{\prime} e y^{\prime} são funções contínuas que não se anulam simultaneamente em [a, b] e que a curva \mathcal{C} é percorrida exatamente uma vez quando t avança de t=a para t=b.
Nessas condições, o comprimento de \mathcal{C} é dado pela integral definida
L=\int_{a}^{b} \sqrt{x^{\prime}(t)^{2}+y^{\prime}(t)^{2}} \mathrm{~d} t
Calcule o comprimento da curva plana dada por
C:\left\{\begin{array}{l} x(t)=t^{3} \\\ y(t)=\frac{3}{2} t^{2}, \quad \text { para } 1 \leq t \leq 4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva \mathcal{C} definida por
x(t)=t^3,\quad y(t)=\tfrac32\,t^2, \quad 1\le t\le4,
usando a fórmula de comprimento de uma curva parametrizada
L=\int_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,\mathrm{d}t.
Vamos precisar:
  • Calcular x'(t) e y'(t).
  • Substituir na raiz quadrada e montar a integral.
  • Resolver a integral por substituição.

Passo 2

Calculamos as derivadas:
x'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t^3)=3t^2, \qquad y'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(\tfrac32\,t^2\bigr)=3t.
Logo, o integrando fica
\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} =\sqrt{(3t^2)^2+(3t)^2} =\sqrt{9t^4+9t^2} =3t\sqrt{t^2+1}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento, obtemos
L=\int_{1}^{4}3t\sqrt{t^2+1}\,\mathrm{d}t.
Fazemos a substituição u=t^2+1, de modo que \mathrm{d}u=2t\,\mathrm{d}t, isto é, t\,\mathrm{d}t=\tfrac12\,\mathrm{d}u. Então
L =3\int_{1}^{4}t\sqrt{t^2+1}\,\mathrm{d}t =3\int_{u(1)}^{u(4)}\sqrt{u}\,\frac{\mathrm{d}u}{2} =\frac{3}{2}\int_{2}^{17}u^{\frac12}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Integramos u^{1/2}:
\frac{3}{2}\int u^{\frac12}\,\mathrm{d}u =\frac{3}{2}\cdot\frac{u^{\frac32}}{\tfrac32} =u^{\frac32}.
Agora avaliamos de u=2 a u=17:
L =\bigl[u^{\frac32}\bigr]_{2}^{17} =17^{\frac32}-2^{\frac32} =17\sqrt{17}-2\sqrt{2}.

Resposta

O comprimento da curva é
L=17\sqrt{17}-2\sqrt{2}.

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