Use o método de frações parciais para calcular a seguinte integral indefinida: A letra \Omega nas questões abaixo tem o valor do último dígito de sua matrícula. Use-o para responder as questões abaixo. Indique aqui seu valor de \Omega=
\int\left(\frac{t+\Omega+7}{t^{2}-7 t+12}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{t + \Omega + 7}{t^{2} - 7t + 12}\,dt
usando o método de frações parciais. O conteúdo envolvido é decomposição de função racional e integração de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador quadrático:
t^{2}-7t+12=(t-3)(t-4).

Passo 3

Agora escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{t + \Omega + 7}{(t-3)(t-4)} =\frac{A}{t-3}+\frac{B}{t-4}.
Multiplicando ambos os lados por (t-3)(t-4), obtemos
t + \Omega + 7 = A(t-4) + B(t-3).

Passo 4

Expandindo o lado direito, temos
A(t-4)+B(t-3)=(A+B)\,t - (4A+3B).
Igualando coeficientes com o numerador t + \Omega + 7\), surge o sistema \[\begin{cases} A+B = 1,\\\\ -4A - 3B = \Omega + 7. \end{cases}
Da primeira equação (B = 1 - A]. Substituindo na segunda:
-4A - 3(1 - A) = \Omega + 7 \quad\Longrightarrow\quad -4A -3 +3A = \Omega +7 \quad\Longrightarrow\quad -A = \Omega +10 \quad\Longrightarrow\quad A = -\,\Omega - 10.
Logo
B = 1 - (-\Omega - 10) = \Omega + 11.

Passo 5

Substituindo A e B na integral original:
\int \frac{t + \Omega + 7}{(t-3)(t-4)}\,dt =\int \Bigl(\frac{-\Omega-10}{t-3} + \frac{\Omega+11}{t-4}\Bigr)\,dt.
Integramos termo a termo usando \int \frac{1}{t-a}\,dt=\ln|t-a|:
\int \frac{-\Omega-10}{t-3}\,dt = (-\Omega-10)\,\ln|t-3|,
\int \frac{\Omega+11}{t-4}\,dt = (\Omega+11)\,\ln|t-4|.

Resposta

\int \frac{t + \Omega + 7}{t^{2} - 7t + 12}\,dt =(\Omega+11)\,\ln\bigl|t-4\bigr| \;-\;(\Omega+10)\,\ln\bigl|t-3\bigr| + C.

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