Resolva as seguintes Integrais usando o método de integração por substituição. A letra \Omega nas questões abaixo tem o valor do último dígito de sua matrícula. Use-o para responder as questões abaixo. Indique aqui seu valor de \Omega=
a) \int\left(\frac{\cos (\sqrt{t-\Omega})}{\sqrt{t-\Omega}}\right) d t
b) \int_{\Omega}^{\pi^{2}+\Omega}\left(\frac{\cos (\sqrt{t-\Omega})}{\sqrt{t-\Omega}}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\cos\bigl(\sqrt{t-\Omega}\bigr)}{\sqrt{t-\Omega}}\,dt
e
\int_{\Omega}^{\pi^{2}+\Omega}\frac{\cos\bigl(\sqrt{t-\Omega}\bigr)}{\sqrt{t-\Omega}}\,dt
usando substituição. O conteúdo é integração por substituição, em que vamos definir uma nova variável que simplifica o radical e o denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição u = \sqrt{t-\Omega} Logo
t-\Omega = u^{2},\quad t = u^{2}+\Omega,\quad dt = 2u\,du.
No integrando, temos
\frac{\cos\bigl(\sqrt{t-\Omega}\bigr)}{\sqrt{t-\Omega}}\,dt = \frac{\cos(u)}{u}\,\bigl(2u\,du\bigr) = 2\cos(u)\,du.

Passo 3

Para a integral indefinida, ficamos com
\int 2\cos(u)\,du = 2\sin(u) + C.
Voltando à variável original t:
\int \frac{\cos\bigl(\sqrt{t-\Omega}\bigr)}{\sqrt{t-\Omega}}\,dt = 2\sin\bigl(\sqrt{t-\Omega}\bigr) + C.

Passo 4

Agora a integral definida de t=\Omega até t=\pi^{2}+\Omega. Com u=\sqrt{t-\Omega}:
  • Quando t=\Omega, u=0.
  • Quando t=\pi^{2}+\Omega, u=\sqrt{\pi^{2}}=\pi.
    Então
\int_{\Omega}^{\pi^{2}+\Omega}\frac{\cos\bigl(\sqrt{t-\Omega}\bigr)}{\sqrt{t-\Omega}}\,dt = \int_{0}^{\pi}2\cos(u)\,du.

Passo 5

Calculamos
\int_{0}^{\pi}2\cos(u)\,du = 2\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{\pi} = 2\bigl(\sin(\pi)-\sin(0)\bigr) = 2(0-0) = 0.

Resposta

a) \displaystyle 2\sin\bigl(\sqrt{t-\Omega}\bigr)+C
b) \displaystyle 0

Exercícios relacionados