Pergunta: encontrar a solução geral \mathbf{x}(t) (ou seja, a família geral de soluções com constantes arbitrárias).]
Passo 2
Como resolveremos (aula rápida e prática):
Para sistemas lineares com coeficientes constantes como \mathbf{x}'=A\mathbf{x}, a técnica padrão é procurar autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v} de A (ou seja, resolver A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}).
Se \lambda é um autovalor com um autovetor \mathbf{v}, então \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} é uma solução do sistema.
Se conseguimos três autovetores linearmente independentes (matriz 3\times3), a solução geral é combinação linear:
Então vamos achar os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e, para cada autovalor, um autovetor não nulo resolvendo (A-\lambda I)\mathbf{v}=0.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Como os três autovalores são distintos, os três autovetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3. Assim a solução geral do sistema é a combinação linear das soluções exponenciais correspondentes: