(Extra! - (Valor: 3,0)) Sabendo-se que 0 \leq b \leq c, b^{2}+c^{2} \neq 0, use a definição de limite para mostrar que
(b) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá funções com constantes reais a,b,c tais que 0 \leq b \leq c e b^{2}+c^{2}\neq 0. Pede-se, usando a definição de limite, mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}}=0.
As informações relevantes são:
  • a é uma constante real (não especificada; pode ser zero ou não).
  • b e c são constantes reais com 0\le b\le c e \;b^{2}+c^{2}\neq0 (ou seja, pelo menos um entre b e c é positivo).
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}} definida nos pontos onde o denominador é positivo.
    O que devemos provar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo (x,y) com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta e onde f é definida, tem-se \left|\dfrac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}}\right|<\varepsilon.

Passo 2

Vou escrever uma desigualdade útil envolvendo x e y. Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Mostrarei que |x y| pode ser controlado por r^{2}. De fato, como (|x|-|y|)^{2}\ge0 temos
0\le (|x|-|y|)^{2}=x^{2}+y^{2}-2|x y|,
logo
|x y|\le\frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{r^{2}}{2}.
Esta desigualdade é muito prática porque transforma o produto x y em algo proporcional a r^{2}.

Passo 3

Trate primeiro o caso trivial a=0. Se a=0 então f(x,y)\equiv0 (onde estiver definida) e a conclusão é imediata: para qualquer \varepsilon>0 quaisquer \delta>0 serve, pois |f(x,y)|=0<\varepsilon. A partir de agora suponha a\neq0.

Passo 4

Vamos separar em dois subcasos, porque a constante b pode ser positiva ou igual a zero. Lembre que b^{2}+c^{2}\neq0 garante que pelo menos um entre b e c é positivo.
Caso A: b>0.
Nesse caso, usando b\le c temos
b x^{2}+c y^{2}\ge b x^{2}+b y^{2}=b(x^{2}+y^{2})=b r^{2},
portanto, para todo (x,y),
\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}\ge \sqrt{b}\,r.
Agora estime o valor absoluto da função:
\left|\frac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}}\right| \le \frac{|a|\,|x y|}{\sqrt{b}\,r}.
Usando a desigualdade do Passo 2, |x y|\le r^{2}/2, obtemos
\left|\frac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}}\right| \le \frac{|a|}{\sqrt{b}}\cdot\frac{r^{2}}{2r} = \frac{|a|}{2\sqrt{b}}\,r.
Logo, se escolhemos \delta tal que 0<\delta\le \dfrac{2\sqrt{b}}{|a|}\varepsilon, então para todo (x,y) com 0<r<\delta vale
\left|\frac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}}\right| \le \frac{|a|}{2\sqrt{b}}\,r < \frac{|a|}{2\sqrt{b}}\cdot \frac{2\sqrt{b}}{|a|}\varepsilon = \varepsilon.
Isto prova a condição de limite no caso b>0.

Passo 5

Caso B: b=0. Então, pela hipótese b^{2}+c^{2}\neq0, segue c>0. A expressão do denominador fica \sqrt{c}\,|y| (quando y\neq0); a função não está definida nos pontos com y=0 (para b=0 e y=0 o denominador é zero), mas a definição de limite exige apenas considerar pontos do domínio próximos de (0,0), ou seja, pontos com y\neq0 suficientemente pequenos.
Para y\neq0 temos
\left|\frac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}}\right| =\left|\frac{a x y}{\sqrt{c}\,|y|}\right| =\frac{|a|}{\sqrt{c}}\,|x|.
Como |x|\le r, obtemos
\left|\frac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}}\right| \le \frac{|a|}{\sqrt{c}}\,r.
Portanto, escolhendo \delta com 0<\delta\le \dfrac{\sqrt{c}}{|a|}\varepsilon, segue que para todo (x,y) do domínio com 0<r<\delta vale
\left|\frac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}}\right| \le \frac{|a|}{\sqrt{c}}\,r < \frac{|a|}{\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{c}}{|a|}\varepsilon = \varepsilon.
Isto prova a condição de limite no caso b=0.

Passo 6

Conclusão unificada. Reunindo os casos:
  • se a=0 o limite é trivialmente 0;
  • se a\neq0 e b>0 então existe \delta=\dfrac{2\sqrt{b}}{|a|}\varepsilon (ou qualquer valor menor) que garante a desigualdade do limite;
  • se a\neq0 e b=0 (então c>0) então existe \delta=\dfrac{\sqrt{c}}{|a|}\varepsilon (ou qualquer valor menor) que garante a desigualdade do limite.
Em todos os casos encontramos, para cada \varepsilon>0, um \delta>0 tal que, para todo (x,y) no domínio com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, tem-se
\left|\frac{a x y}{\sqrt{b x^{2}+c y^{2}}}-0\right|<\varepsilon.
Isso é exatamente a definição de limite em \mathbb{R}^{2} e prova que o limite pedido é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados