Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 15.3.1 para determinar seu valor.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a integral de linha
é independente do caminho entre os pontos
e
; (2) usar o Teorema 15.3.1 para determinar o valor da integral.
As informações dadas são os coeficientes do diferencial de linha: o termo multiplicando é
e o termo multiplicando
é
.
Nenhuma outra restrição geométrica foi imposta: o domínio natural para esses coeficientes é todo o plano .
As informações dadas são os coeficientes do diferencial de linha: o termo multiplicando
Nenhuma outra restrição geométrica foi imposta: o domínio natural para esses coeficientes é todo o plano
Passo 2
O que significa “independente do caminho”? Significa que a integral entre dois pontos depende apenas dos pontos finais, não do caminho usado para ligá‑los. Uma maneira prática de testar isso (quando se trata de uma forma diferencial
com derivadas parciais contínuas) é verificar se
em um domínio simplesmente conexo. Se isso ocorrer, a forma é conservativa (ou seja, existe uma função potencial
tal que
) e então a integral entre dois pontos é
. Isto é a ideia do Teorema 15.3.1 que vamos usar: igualdade das derivadas cruzadas em um domínio apropriado implica independência de caminho e permite calcular a integral por diferença de potenciais.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais pedidas para verificar a condição:
Observa‑se que
para todos os
.
Passo 4
Como as derivadas cruzadas coincidem e os coeficientes
e
são funções contínuas em todo
(que é simplesmente conexo), pelas hipóteses do Teorema 15.3.1 a forma diferencial é conservativa. Portanto a integral dada é independente do caminho entre
e
. Agora podemos calcular a integral encontrando uma função potencial
tal que
.
Passo 5
Procuramos
com
O procedimento padrão é integrar
em relação a
, tratando
como constante, e depois ajustar com uma função de
.
Passo 6
Integrando
em
:
Aqui
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Agora impomos a condição
. Calculamos
Igualando a
temos
Logo
é constante. Podemos escolher essa constante como zero (qualquer constante cancela na diferença de potenciais). Assim uma função potencial conveniente é
Passo 7
Pelo Teorema fundamental para integrais de formas conservativas, a integral entre
e
é
Calculemos:
Portanto a integral vale