Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 15.3.1 para determinar seu valor.
\int_{(0,0)}^{(3,2)} 2 x e^{y} d x+x^{2} e^{y} d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a integral de linha
\int_{(0,0)}^{(3,2)} 2x e^{y}\,dx + x^{2} e^{y}\,dy
é independente do caminho entre os pontos (0,0) e (3,2); (2) usar o Teorema 15.3.1 para determinar o valor da integral.
As informações dadas são os coeficientes do diferencial de linha: o termo multiplicando dx é P(x,y)=2x e^{y} e o termo multiplicando dy é Q(x,y)=x^{2} e^{y}.
Nenhuma outra restrição geométrica foi imposta: o domínio natural para esses coeficientes é todo o plano \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que significa “independente do caminho”? Significa que a integral entre dois pontos depende apenas dos pontos finais, não do caminho usado para ligá‑los. Uma maneira prática de testar isso (quando se trata de uma forma diferencial \,P\,dx+Q\,dy com derivadas parciais contínuas) é verificar se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em um domínio simplesmente conexo. Se isso ocorrer, a forma é conservativa (ou seja, existe uma função potencial \varphi tal que d\varphi=P\,dx+Q\,dy) e então a integral entre dois pontos é \varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í. Isto é a ideia do Teorema 15.3.1 que vamos usar: igualdade das derivadas cruzadas em um domínio apropriado implica independência de caminho e permite calcular a integral por diferença de potenciais.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais pedidas para verificar a condição:
P(x,y)=2x e^{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=2x e^{y}.
Q(x,y)=x^{2} e^{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=2x e^{y}.
Observa‑se que
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=2x e^{y}=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)
para todos os (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Como as derivadas cruzadas coincidem e os coeficientes P e Q são funções contínuas em todo \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conexo), pelas hipóteses do Teorema 15.3.1 a forma diferencial é conservativa. Portanto a integral dada é independente do caminho entre (0,0) e (3,2). Agora podemos calcular a integral encontrando uma função potencial \varphi tal que d\varphi=P\,dx+Q\,dy.

Passo 5

Procuramos \varphi(x,y) com
\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y)=P(x,y)=2x e^{y}, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y)=Q(x,y)=x^{2} e^{y}.
O procedimento padrão é integrar \frac{\partial \varphi}{\partial x}=2x e^{y} em relação a x, tratando y como constante, e depois ajustar com uma função de y.

Passo 6

Integrando \frac{\partial \varphi}{\partial x}=2x e^{y} em x:
\varphi(x,y)=\int 2x e^{y}\,dx = e^{y}\int 2x\,dx = e^{y}\,x^{2} + C(y).
Aqui C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Agora impomos a condição \phi_{y}=Q. Calculamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2} e^{y} + C(y)\big)=x^{2} e^{y} + C'(y).
Igualando a Q(x,y)=x^{2} e^{y} temos
x^{2} e^{y} + C'(y)=x^{2} e^{y}\quad\Rightarrow\quad C'(y)=0.
Logo C(y) é constante. Podemos escolher essa constante como zero (qualquer constante cancela na diferença de potenciais). Assim uma função potencial conveniente é
\varphi(x,y)=x^{2} e^{y}.

Passo 7

Pelo Teorema fundamental para integrais de formas conservativas, a integral entre (0,0) e (3,2) é
\int_{(0,0)}^{(3,2)} 2x e^{y}\,dx + x^{2} e^{y}\,dy = \varphi(3,2)-\varphi(0,0).
Calculemos:
\varphi(3,2)=3^{2} e^{2}=9 e^{2}, \qquad \varphi(0,0)=0^{2} e^{0}=0.
Portanto a integral vale
9 e^{2}-0 = 9 e^{2}.

Resposta

9 e^{2}

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