Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 15.3.1 para determinar seu valor.
\int_{(1,2)}^{(4,0)} 3 y d x+3 x d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que a integral de linha
\int_{(1,2)}^{(4,0)} 3y\,dx + 3x\,dy
é independente do caminho, e então usar o Teorema 15.3.1 para determinar o seu valor final entre os pontos (1,2) e (4,0).
Informações dadas:
  • A forma diferencial é P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy com P(x,y)=3y e Q(x,y)=3x.
  • O ponto inicial é (1,2) e o ponto final é (4,0).
  • É solicitado: (i) provar independência do caminho; (ii) usar o Teorema 15.3.1 para calcular o valor da integral.

Passo 2

Enunciando (em palavras claras) o Teorema 15.3.1 que vamos usar: se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região aberta e simplesmente conexa D e satisfazem
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em }D,
então a forma P\,dx+Q\,dy é exata em D; isto implica que a integral de linha entre dois pontos é independente do caminho (existe uma função potencial f tal que df=P\,dx+Q\,dy, e a integral ao longo de qualquer curva de A até B vale f(B)-f(A)). Vou aplicar exatamente esse critério aqui.
Explicando com calma o que cada símbolo significa:
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x.
  • “Derivadas parciais contínuas” garante que não haja pontos problemáticos onde a condição deixe de valer.
  • “Região simplesmente conexa” quer dizer, intuitivamente, que a região não tem buracos — por exemplo \mathbb{R}^2 inteiro é simplesmente conexo.

Passo 3

Verificação das hipóteses no nosso caso:
  • As funções P(x,y)=3y e Q(x,y)=3x são polinômios, logo têm derivadas parciais contínuas em toda \mathbb{R}^2. Como o segmento que liga (1,2) a (4,0) está contido em \mathbb{R}^2, podemos trabalhar em D=\mathbb{R}^2, que é simplesmente conexa.
  • Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(3y)=3,
\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(3x)=3.
Como \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}=3 em toda D, a condição do teorema está satisfeita.
Conclusão deste passo: a forma 3y\,dx+3x\,dy é exata em \mathbb{R}^2, portanto a integral é independente do caminho entre quaisquer dois pontos em \mathbb{R}^2. (Bom — já temos independência do caminho. Vamos achar a função potencial para calcular o valor.)

Passo 4

Encontrar a função potencial f(x,y) tal que df=P\,dx+Q\,dy, ou seja
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=3y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=3x.
Integramos a primeira igualdade em relação a x:
f(x,y)=\int 3y\,dx = 3y\cdot x + h(y) = 3xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
Agora usamos a segunda igualdade para determinar h. Diferenciando f obtida em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(3xy + h(y)) = 3x + h'(y).
Esta derivada deve ser igual a Q(x,y)=3x. Portanto
3x + h'(y)=3x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Assim h(y) é constante; podemos tomar h(y)=C. Logo uma função potencial é
f(x,y)=3xy + C.
A constante C não altera diferenças f(B)-f(A), então podemos escolher C=0 para simplificar.

Passo 5

Aplicar o resultado: como a integral é independente do caminho, a integral de (1,2) até (4,0) vale simplesmente f(4,0)-f(1,2). Com f(x,y)=3xy (escolhendo C=0),
f(4,0)=3\cdot 4\cdot 0 = 0,
f(1,2)=3\cdot 1\cdot 2 = 6.
Portanto a integral é
\int_{(1,2)}^{(4,0)} 3y\,dx + 3x\,dy = f(4,0)-f(1,2)=0-6=-6.

Resposta

-6

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