Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 15.3.1 para determinar seu valor.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que a integral de linha
é independente do caminho, e então usar o Teorema 15.3.1 para determinar o seu valor final entre os pontos
e
.
Informações dadas:
- A forma diferencial é
com e . - O ponto inicial é
e o ponto final é . - É solicitado: (i) provar independência do caminho; (ii) usar o Teorema 15.3.1 para calcular o valor da integral.
Passo 2
Enunciando (em palavras claras) o Teorema 15.3.1 que vamos usar: se
e
têm derivadas parciais contínuas numa região aberta e simplesmente conexa
e satisfazem
então a forma
é exata em
; isto implica que a integral de linha entre dois pontos é independente do caminho (existe uma função potencial
tal que
, e a integral ao longo de qualquer curva de
até
vale
). Vou aplicar exatamente esse critério aqui.
Explicando com calma o que cada símbolo significa:
-
é a derivada parcial de em relação a . -
é a derivada parcial de em relação a . - “Derivadas parciais contínuas” garante que não haja pontos problemáticos onde a condição deixe de valer.
- “Região simplesmente conexa” quer dizer, intuitivamente, que a região não tem buracos — por exemplo
inteiro é simplesmente conexo.
Passo 3
Verificação das hipóteses no nosso caso:
- As funções
e são polinômios, logo têm derivadas parciais contínuas em toda . Como o segmento que liga a está contido em , podemos trabalhar em , que é simplesmente conexa. - Calculemos as derivadas parciais:
Como
em toda
, a condição do teorema está satisfeita.
Conclusão deste passo: a forma
é exata em
, portanto a integral é independente do caminho entre quaisquer dois pontos em
. (Bom — já temos independência do caminho. Vamos achar a função potencial para calcular o valor.)
Passo 4
Encontrar a função potencial
tal que
, ou seja
Integramos a primeira igualdade em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Agora usamos a segunda igualdade para determinar
. Diferenciando
obtida em relação a
:
Esta derivada deve ser igual a
. Portanto
Assim
é constante; podemos tomar
. Logo uma função potencial é
A constante
não altera diferenças
, então podemos escolher
para simplificar.
Passo 5
Aplicar o resultado: como a integral é independente do caminho, a integral de
até
vale simplesmente
. Com
(escolhendo
),
Portanto a integral é
Resposta
-6