(Extra! - (Valor: 3,0)) Sabendo-se que (0 \leq b \leq c, c \neq 0), e
f(x, y)=\\\{begin{array}{cc} a x \sin \frac{b}{c y}, & y \neq 0 \\\\\ 0, & y=0 \end{array}\\\}
calcule os seguintes limites, se existirem:
(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ;

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a função definida por partes
f(x,y)= \begin{cases} a x \sin\!\left(\dfrac{b}{c y}\right), & y\neq 0,\\[6pt] 0, & y=0, \end{cases}
com as constantes satisfazendo \;0\le b\le c e c\neq 0.
  • A pergunta é: calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y), se esse limite existir.]

Passo 2

Observação útil sobre a função seno (uma “ferramenta” que vamos usar): para todo número real t vale
\left|\sin t\right|\le 1.
Isto é importante porque a expressão de f quando y\neq 0 contém \sin\!\left(\dfrac{b}{c y}\right), que pode oscilar quando y\to 0, mas permanece sempre entre -1 e 1.

Passo 3

Usando a desigualdade do seno, para todo (x,y) com y\neq 0 temos
\left|f(x,y)\right| = \left|a x \sin\!\left(\dfrac{b}{c y}\right)\right| = |a|\,|x|\left|\sin\!\left(\dfrac{b}{c y}\right)\right| \le |a|\,|x|.
Quando y=0 temos f(x,0)=0, portanto também |f(x,0)|\le |a|\,|x| (pois o lado direito é \ge 0). Concluímos que a desigualdade
\left|f(x,y)\right|\le |a|\,|x|
é válida para todos (x,y) (inclusive y=0).

Passo 4

Agora usamos um argumento tipo “teorema do confronto” (squeeze) ou um argumento \varepsilon- \delta simples para mostrar que a função tende a zero quando (x,y)\to(0,0).
Seja \varepsilon>0 dado. Primeiro trate o caso a\neq 0. Escolha
\delta=\frac{\varepsilon}{|a|}.
Se \sqrt{x^2+y^2}<\delta então em particular |x|<\delta. Pela desigualdade do Passo 3 segue
\left|f(x,y)\right|\le |a|\,|x| < |a|\,\delta = \varepsilon.
Isto prova que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se \sqrt{x^2+y^2}<\delta então |f(x,y)-0|<\varepsilon. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0
no caso a\neq 0.

Passo 5

Trate o caso especial a=0. Se a=0 então para todo (x,y) com y\neq0 temos f(x,y)=0 e para y=0 também f(x,0)=0. Ou seja, f é identicamente zero em torno de (0,0), e obviamente
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 6

Conclusão unificada: independentemente do valor de a, a desigualdade do Passo 3 + o argumento \varepsilon- \delta mostram que a única possível e real limite é 0. Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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