(Extra! - (Valor: 3,0)) Sabendo-se que 0 \leq b \leq c, b^{2}+c^{2} \neq 0, use a definição de limite para mostrar que
(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)}(a x+b y)=a+b ;

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=a x + b y,
e pede para mostrar, usando a definição de limite, que
\lim_{(x,y)\to(1,1)} f(x,y)=a+b.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os parâmetros a e b são constantes (podem ser quaisquer números reais).
  • O ponto de interesse é (1,1).
  • O enunciado fornece também a condição geral 0\le b\le c,\; b^{2}+c^{2}\neq 0, mas para esta parte (a) só precisamos saber que a e b são constantes e tratar o caso degenerado a=b=0 se ocorrer.
    O que precisamos provar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}<\delta, então |a x+b y-(a+b)|<\varepsilon.

Passo 2

Vou recordar a definição de limite em \mathbb{R}^2 (para usar passo a passo):
\lim_{(x,y)\to(1,1)} f(x,y)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que
0<\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}<\delta
então
|f(x,y)-L|<\varepsilon.
Aqui queremos L=a+b. Vou então começar com um \varepsilon>0 arbitrário e buscar um \delta adequado.

Passo 3

Começo manipulando a diferença que queremos controlar:
|f(x,y)-(a+b)| = |a x + b y - (a+b)|.
Agrupando termos:
|a x + b y - (a+b)| = |a(x-1) + b(y-1)|.
Aplicando a desigualdade triangular (ou seja, |u+v|\le|u|+|v|):
|a(x-1) + b(y-1)| \le |a|\,|x-1| + |b|\,|y-1|.

Passo 4

Agora precisamos relacionar |x-1| e |y-1| com a distância ao ponto (1,1). Lembrando que a distância euclidiana é
r:=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}.
Pela forma dessa raiz quadrada temos imediatamente
|x-1|\le r,\qquad |y-1|\le r,
porque cada termo absoluto é menor ou igual à raiz quadrada da soma dos quadrados. Substituindo essas desigualdades em que obtivemos antes:
|a(x-1) + b(y-1)| \le |a|\,r + |b|\,r = (|a|+|b|)\,r.

Passo 5

Dessa desigualdade obtemos um critério prático: se conseguirmos garantir que (|a|+|b|)\,r<\varepsilon então teremos |f(x,y)-(a+b)|<\varepsilon. Ou seja basta escolher \delta tal que, sempre que 0<r<\delta, valha (|a|+|b|)\,r<\varepsilon.
Se |a|+|b|>0 (caso genérico), escolhemos
\delta=\frac{\varepsilon}{|a|+|b|}.
Então para todo (x,y) com 0<\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}<\delta temos
|f(x,y)-(a+b)| \le (|a|+|b|)r < (|a|+|b|)\delta = \varepsilon,
o que é exatamente a condição da definição de limite.

Passo 6

É preciso também tratar o caso degenerado |a|+|b|=0. Isso ocorre apenas se a=0 e b=0 simultaneamente. Nesse caso f(x,y)\equiv 0 e a+b=0, então para qualquer \varepsilon>0 qualquer \delta>0 serve, pois
|f(x,y)-(a+b)| = |0-0|=0<\varepsilon.
Portanto o limite também vale neste caso.

Passo 7

Conclusão: para todo \varepsilon>0 foi encontrado \delta>0 (explicitamente \delta=\varepsilon/(|a|+|b|) se |a|+|b|>0, ou qualquer \delta>0 se a=b=0) tal que 0<\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}<\delta implica |a x+b y-(a+b)|<\varepsilon. Isso prova, pela definição, que
\lim_{(x,y)\to(1,1)}(a x+b y)=a+b.

Resposta

\displaystyle a+b

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