(Extra! - (Valor: 3,0)) Sabendo-se que
, use a definição de limite para mostrar que
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para mostrar, usando a definição de limite, que
Informações relevantes fornecidas:
- Os parâmetros
e são constantes (podem ser quaisquer números reais). - O ponto de interesse é
. - O enunciado fornece também a condição geral
, mas para esta parte (a) só precisamos saber que e são constantes e tratar o caso degenerado se ocorrer.
O que precisamos provar: para todoexiste tal que, se , então .
Passo 2
Vou recordar a definição de limite em
(para usar passo a passo):
significa que, para todo
, existe
tal que sempre que
então
Aqui queremos
. Vou então começar com um
arbitrário e buscar um
adequado.
Passo 3
Começo manipulando a diferença que queremos controlar:
Agrupando termos:
Aplicando a desigualdade triangular (ou seja,
):
Passo 4
Agora precisamos relacionar
e
com a distância ao ponto
. Lembrando que a distância euclidiana é
Pela forma dessa raiz quadrada temos imediatamente
porque cada termo absoluto é menor ou igual à raiz quadrada da soma dos quadrados. Substituindo essas desigualdades em que obtivemos antes:
Passo 5
Dessa desigualdade obtemos um critério prático: se conseguirmos garantir que
então teremos
. Ou seja basta escolher
tal que, sempre que
, valha
.
Se
(caso genérico), escolhemos
Então para todo
com
temos
o que é exatamente a condição da definição de limite.
Passo 6
É preciso também tratar o caso degenerado
. Isso ocorre apenas se
e
simultaneamente. Nesse caso
e
, então para qualquer
qualquer
serve, pois
Portanto o limite também vale neste caso.
Passo 7
Conclusão: para todo
foi encontrado
(explicitamente
se
, ou qualquer
se
) tal que
implica
. Isso prova, pela definição, que