(Extra! - (Valor: 3,0)) Sabendo-se que (0 \leq b \leq c, c \neq 0), e
f(x, y)=\\\{begin{array}{cc} a x \sin \frac{b}{c y}, & y \neq 0 \\\\\ 0, & y=0 \end{array}\\\}
calcule os seguintes limites, se existirem:
(c) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{a y \sin b x}{x y+c x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,1)} \frac{a\,y\sin(bx)}{x y + c x},
sabendo que \,0\le b\le c e c\neq0. Informações relevantes dadas:
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,1), ou seja x\to0 e y\to1.
  • As constantes a,b,c satisfazem 0\le b\le c e c\neq0 (daqui segue que c>0).
  • É preciso determinar se o limite existe e, se existir, seu valor.

Passo 2

Vamos manipular a expressão para evidenciar o comportamento quando x\to0. No denominador fatoramos x:
x y + c x = x(y+c).
Logo a função a estudar pode ser reescrita (com x\neq0) como
\frac{a\,y\sin(bx)}{x(y+c)}.
Observe que, ao aproximar (x,y) de (0,1), o fator y+c tende para 1+c, que é diferente de zero porque c\neq0. Então não teremos divisão por zero no limite.

Passo 3

Usamos a identidade útil para limites envolvendo seno:
\sin(bx)=\frac{\sin(bx)}{b x}\cdot b x,
desde que consideremos o caso b>0. A propriedade básica que vamos usar é
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Aqui podemos tomar t=b x; se b>0 então t\to0 quando x\to0, e portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin(bx)}{b x}=1.

Passo 4

Substituindo a identidade em nossa razão (para x\neq0):
\frac{a\,y\sin(bx)}{x(y+c)} = \frac{a\,y}{y+c}\cdot\frac{\sin(bx)}{x} = \frac{a\,y}{y+c}\cdot b\cdot\frac{\sin(bx)}{b x}.
Assim
\frac{a\,y\sin(bx)}{x(y+c)}=\frac{a b\, y}{y+c}\cdot\frac{\sin(bx)}{b x}.
Agora tomamos o limite quando (x,y)\to(0,1). Para b>0 temos \dfrac{\sin(bx)}{b x}\to1 e y\to1, y+c\to1+c. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{a\,y\sin(bx)}{x(y+c)} = \frac{a b\cdot 1}{1+c}=\frac{a b}{1+c}.

Passo 5

Falta tratar o caso b=0. Se b=0 então \sin(bx)=\sin 0=0 para todo x, então a expressão é identicamente zero (para x\neq0 o valor é 0). Logo o limite é 0 quando (x,y)\to(0,1). Note que quando b=0 a fórmula \dfrac{a b}{1+c} também dá 0. Portanto o resultado geral é consistente em todos os casos permitidos por 0\le b\le c.

Resposta

\dfrac{a b}{1+c}

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