(Extra! - (Valor: 3,0)) Sabendo-se que (0 \leq b \leq c, c \neq 0), e
calcule os seguintes limites, se existirem:
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
sabendo que
e
. Informações relevantes dadas:
- O ponto de interesse é
, ou seja e . - As constantes
satisfazem e (daqui segue que ). - É preciso determinar se o limite existe e, se existir, seu valor.
Passo 2
Vamos manipular a expressão para evidenciar o comportamento quando
. No denominador fatoramos
:
Logo a função a estudar pode ser reescrita (com
) como
Observe que, ao aproximar
de
, o fator
tende para
, que é diferente de zero porque
. Então não teremos divisão por zero no limite.
Passo 3
Usamos a identidade útil para limites envolvendo seno:
desde que consideremos o caso
. A propriedade básica que vamos usar é
Aqui podemos tomar
; se
então
quando
, e portanto
Passo 4
Substituindo a identidade em nossa razão (para
):
Assim
Agora tomamos o limite quando
. Para
temos
e
,
. Portanto
Passo 5
Falta tratar o caso
. Se
então
para todo
, então a expressão é identicamente zero (para
o valor é
). Logo o limite é
quando
. Note que quando
a fórmula
também dá
. Portanto o resultado geral é consistente em todos os casos permitidos por
.