Extrai-se ao acaso uma carta de um baralho ordinário de cartas. Determine a probabilidade da carta ser:
Nem quatro nem carta de paus.
Nem quatro nem carta de paus.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao extrair aleatoriamente uma carta de um baralho ordinário, a carta ser “nem quatro nem carta de paus”.\n
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- Um baralho ordinário tem
cartas.\n - Existem
cartas que são quatro (uma em cada naipe): .\n - Existem
cartas do naipe paus (do Ás ao Rei de paus).\n - A carta que pertence aos dois conjuntos (“quatro” e “paus”) é exatamente
carta: o quatro de paus.\n
Passo 2
Vamos lembrar o que é probabilidade clássica (a que usaremos aqui):\n
A probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos igualmente prováveis. Em notação:\n
A probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos igualmente prováveis. Em notação:\n
No nosso problema o espaço amostral tem tamanho
(todas as cartas do baralho).
Passo 3
É mais fácil contar primeiro quantas cartas são “quatro ou carta de paus” (a união dos dois conjuntos) e então fazer o complementar. Para contar a união usamos o princípio da inclusão-exclusão:\n
Aqui
= conjunto das cartas que são quatro,
= conjunto das cartas de paus.\n
Substituindo os números que identificamos:
Substituindo os números que identificamos:
Portanto
Isto significa que existem
cartas que são ou um quatro ou uma carta de paus (ou ambos).
Passo 4
Queremos as cartas que são “nem quatro nem carta de paus”, isto é, o complementar de
. O número de cartas desse complementar é:
Logo há
cartas que não são nem quatro nem do naipe paus.
Passo 5
Aplicando a fórmula da probabilidade:
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por
:
(Ou, alternativamente, poderia-se usar o complemento direto:
.)