Extrai-se ao acaso uma carta de um baralho ordinário de cartas. Determine a probabilidade da carta ser:
Nem quatro nem carta de paus.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao extrair aleatoriamente uma carta de um baralho ordinário, a carta ser “nem quatro nem carta de paus”.\n
Informações dadas (explicitadas):
  • Um baralho ordinário tem 52 cartas.\n
  • Existem 4 cartas que são quatro (uma em cada naipe): \text{4 de copas, 4 de ouros, 4 de espadas, 4 de paus}.\n
  • Existem 13 cartas do naipe paus (do Ás ao Rei de paus).\n
  • A carta que pertence aos dois conjuntos (“quatro” e “paus”) é exatamente 1 carta: o quatro de paus.\n

Passo 2

Vamos lembrar o que é probabilidade clássica (a que usaremos aqui):\n
A probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos igualmente prováveis. Em notação:\n
P(\text{evento})=\frac{\text{nº de casos favoráveis}}{\text{nº total de casos}}.ºáº
No nosso problema o espaço amostral tem tamanho \;52\; (todas as cartas do baralho).

Passo 3

É mais fácil contar primeiro quantas cartas são “quatro ou carta de paus” (a união dos dois conjuntos) e então fazer o complementar. Para contar a união usamos o princípio da inclusão-exclusão:\n
|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|
Aqui A = conjunto das cartas que são quatro, B = conjunto das cartas de paus.\n
Substituindo os números que identificamos:
|A|=4,\quad |B|=13,\quad |A\cap B|=1.
Portanto
|A\cup B| = 4+13-1 = 16.
Isto significa que existem 16 cartas que são ou um quatro ou uma carta de paus (ou ambos).

Passo 4

Queremos as cartas que são “nem quatro nem carta de paus”, isto é, o complementar de A\cup B. O número de cartas desse complementar é:
\text{favoráveis} = 52 - |A\cup B| = 52 - 16 = 36.á
Logo há 36 cartas que não são nem quatro nem do naipe paus.

Passo 5

Aplicando a fórmula da probabilidade:
P(\text{nem quatro nem paus})=\frac{\text{favoráveis}}{\text{total}}=\frac{36}{52}.á
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{36}{52}=\frac{36\div4}{52\div4}=\frac{9}{13}.
(Ou, alternativamente, poderia-se usar o complemento direto: P(\text{nem quatro nem paus})=1-P(\text{quatro ou paus})=1-\tfrac{16}{52}=1-\tfrac{4}{13}=\tfrac{9}{13}.)

Resposta

\displaystyle \frac{9}{13}

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