Em um extrator de estágio simples de óleo de soja com hexano, 100 kg de grãos de soja contendo 15 \% em peso de óleo são lixiviados com 100 kg de solvente contendo 5% de óleo. O valor da retenção de líquidos pelo sólido é essencialmente constante e igual a 1,2 \mathrm{~kg} de sólidos/kg solução.
Calcule as vazões e as composições das correntes de extrato e refinado.

Passo 1

Enunciado e dados conhecidos (vou listar tudo de forma bem clara):
\begin{aligned} &\text{Massa dos grãos de soja (alimentação sólida)} = 100\\ \text{kg},\\\ &\text{teor de óleo nos grãos} = 15\% \\ (\text{em massa}),\\\ &\text{massa do solvente (alimentação líquida)} = 100\\ \text{kg},\\\ &\text{teor de óleo no solvente} = 5\% \\ (\text{em massa}),\\\ &\text{retenção de líquidos pelo sólido} = 1{,}2\\ \text{kg de solução / kg de sólido (interpretação adotada)}. \end{aligned}ãçãóóãçãíóçãíóçãóçã
O que a questão pede:
  • Calcular as vazões (massas) das correntes de extrato e do refinado (refinado = material sólido + líquido retido).
  • Calcular a composição dessas correntes (frações/massas de óleo e solvente; no caso do refinado também indicar a fração de sólidos).
Observação importante sobre a reta de interpretação do dado de retenção: o enunciado original estava ambíguo quanto à unidade (“kg de sólidos/kg solução” pode ser lido invertido). O valor mais usual em problemas de extração sólido-líquido é a retenção expressa em “kg de solução retida por kg de sólido seco”. Vou adotar essa interpretação: retenção =1{,}2\\ \text{kg de solução retida por kg de sólido seco}çãó. Se você tiver outra interpretação (inversa), me avisa depois e eu repito a resolução com essa interpretação. Agora sigo com a interpretação adotada e começo a resolver.

Passo 2

Separar as fases e definir variáveis e massas iniciais (aqui ensino como montar o balanço):
  • Chamo de “óleo” todo o óleo presente (vem tanto dos grãos quanto do solvente).
  • Balanço de massa total e balanço de óleo serão usados.
  • Primeiro vamos decompor a alimentação sólida em óleo e matéria seca (sólidos isentos de óleo).
Cálculos iniciais:
\text{óleo nos grãos} = 100\\ \text{kg}\times 0{,}15 = 15\\ \text{kg}.óã
\text{matéria sólida (isenta de óleo) nos grãos} = 100 - 15 = 85\\ \text{kg}.éóóã
Na alimentação do solvente:
\text{óleo no solvente} = 100\\ \text{kg}\times 0{,}05 = 5\\ \text{kg},ó
\text{solvente puro (sem óleo)} = 100 - 5 = 95\\ \text{kg}.ó
Totais de entrada do processo:
\text{massa total de entrada} = 100 + 100 = 200\\ \text{kg},
\text{óleo total no sistema} = 15 + 5 = 20\\ \text{kg}.ó

Passo 3

Aplicar a retenção de líquidos pelo sólido (explico o conceito):
  • “Retenção” significa que, ao final do contato, cada quilograma de sólido seco sai carregando uma certa massa de solução (mistura óleo+solvente) aderida.
  • Adotando retenção =1{,}2\\ \text{kg solução/kg sólido seco}çãó, a massa de solução retida pelo sólido é:
\text{solução retida} = 1{,}2 \times (\text{massa de sólido seco}) = 1{,}2 \times 85 = 102\\ \text{kg}.çãó

Passo 4

Determinar as massas das correntes (vazões):
  • O refinado contém a matéria sólida (85 kg) mais a solução retida (102 kg). Então
\text{massa do refinado} = 85 + 102 = 187\\ \text{kg}.
  • A massa do extrato (corrente líquida que sai) é o que resta do sistema:
\text{massa do extrato} = \text{massa total entrada} - \text{massa do refinado} = 200 - 187 = 13\\ \text{kg}.
Explicação didática: sempre que você tiver retenção fixa, pode obter as massas diretamente assim — o sólido seco permanece e carrega parte do líquido; o que restar do líquido vira o extrato.

Passo 5

Balanço de óleo para encontrar a composição das fases líquidas (ensino a técnica):
  • Após o contato, parte do óleo originalmente nos grãos passa para a fase líquida. Não temos dados de equilíbrio complexo, então assumimos (hipótese usual em questões didáticas de estágio simples) que a fração mássica de óleo na solução retida é igual à fração mássica de óleo no extrato drenado, ou seja, a fase líquida final tem composição uniforme x (fração mássica de óleo na solução).
  • A massa total da fase líquida final é:
\text{massa total de líquido final} = \text{solução retida} + \text{massa do extrato} = 102 + 13 = 115\\ \text{kg}.íçã
  • Fazemos o balanço de óleo total:
20\\ \text{kg} = x \times 115\\ \text{kg} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{20}{115} = 0{,}173913043\ldots
Logo a fração mássica de óleo na fase líquida final é
x \approx 0{,}173913 \quad (\text{ou }17{,}3913\%).
Comentário didático: esse tipo de balanço (óleo total = fração de óleo na fase líquida × massa total de líquido) é padrão e muito útil em provas; memorize a ideia: conserve a massa de cada componente.

Passo 6

Calcular composição e massas de óleo e solvente em cada corrente (passo a passo com contas):
  • Extrato (massa total 13\\ \text{kg}):
\text{óleo no extrato} = x \times 13 = 0{,}173913043\times13 = 2{,}260869565\\ \text{kg}.ó
\text{solvente no extrato} = 13 - 2{,}260869565 = 10{,}739130435\\ \text{kg}.
Frações mássicas no extrato:
\text{óleo: } \frac{2{,}260869565}{13}=0{,}173913\\ (17{,}3913\%),\qquad \text{solvente: }82{,}6087\%.ó
  • Refinado (massa total 187\\ \text{kg}):
    • A solução retida tem óleo
\text{óleo na solução retida} = x \times 102 = 0{,}173913043\times102 = 17{,}739130435\\ \text{kg}.óçã
  • Solvente na solução retida:
\text{solvente na solução retida} = 102 - 17{,}739130435 = 84{,}260869565\\ \text{kg}.çã
  • O refinado ainda contém os sólidos secos (sem óleo líquido) de 85\\ \text{kg}.
Frações mássicas no refinado (sobre a massa total do refinado 187\\ \text{kg}):
\text{fração de sólidos} = \frac{85}{187} = 0{,}454010695\ldots \\ (45{,}4011\%),çãó
\text{fração de óleo} = \frac{17{,}739130435}{187} = 0{,}09485353\ldots \\ (9{,}4854\%),çãó
\text{fração de solvente} = \frac{84{,}260869565}{187} = 0{,}450135775\ldots \\ (45{,}0514\%).çã
Verificação rápida (balanço): soma das massas de óleo no extrato e no refinado =2{,}260869565+17{,}739130435=20\\ \text{kg} OK.

Passo 7

Resumo e observações finais (motivação para prova):
  • Você deve lembrar: primeiro separar as parcelas conhecidas (óleo nas correntes de entrada, sólidos secos), aplicar retenção para saber quanto líquido fica com o sólido, e fazer balanço de componente-s (aqui óleo) para encontrar a composição da fase líquida. Depois é só repartir as massas entre óleo e solvente.
  • Se no enunciado a retenção for, na verdade, a grandeza inversa (por exemplo 1{,}2\\ \text{kg sólido/kg solução}óçã), a conta da retenção muda e as massas de extrato/refinado mudam; se quiser eu refaço com essa interpretação.

Resposta

Extrato: massa =13{,}00\\ \text{kg}. Composição por massa: óleo =2{,}2609\\ \text{kg} ( 17{,}3913\%), solvente =10{,}7391\\ \text{kg} ( 82{,}6087\%).
Refinado: massa =187{,}00\\ \text{kg}. Composição por massa: sólidos =85{,}00\\ \text{kg} ( 45{,}4011\%), óleo =17{,}7391\\ \text{kg} ( 9{,}4854\%), solvente =84{,}2609\\ \text{kg} ( 45{,}0514\%).

Exercícios relacionados