A extremidade de um bastão é levada pela água a uma velocidade v que é maior do que a velocidade das ondas na água. Aplicando a construção de Huygens para as ondas de água, mostre que uma frente de onda cônica é estabelecida e que o seu meio-ângulo \alpha é dado por
\operatorname{sen} \alpha=u / v .
A onda na proa de um navio ou a onda de choque causada por um objeto movendo-se através do ar com uma velocidade superior à velocidade do som são exemplos familiares.

Passo 1

O enunciado diz que a extremidade de um bastão se move na água com velocidade v maior do que a velocidade u das ondas. Usando o princípio de Huygens, cada posição ocupada pelo ponto emissor gera uma pequena esfera (ou círculo, em corte) de raio crescente com velocidade u. Queremos encontrar o envelope dessas esferas, mostrando que é um cone cujo meio-ângulo \alpha satisfaz \sin\alpha = u/v.

Passo 2

Segundo Huygens, no instante t=0 o emissor está na origem e a cada instante t' emite uma esfera de raio u\,(t - t'). No instante final t, o emissor percorreu uma distância vt e encontra-se no ponto S. As esferas emitidas formam um feixe cujo envelope tangencia cada esfera.

Passo 3

Considere a esfera emissora de t'=0, centrada na origem, com raio u\,t no instante t. O envelope será a linha tangente a essa esfera que passa por S. No triângulo retângulo formado, a hipotenusa é a distância OS = vt e o cateto oposto ao ângulo \alpha é o raio u\,t.

Passo 4

Pelo triângulo retângulo, obtemos
\displaystyle \sin\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{u\,t}{v\,t} = \frac{u}{v}.

Resposta

\displaystyle \sin\alpha = \frac{u}{v}

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