A extremidade de um bastão é levada pela água a uma velocidade
que é maior do que a velocidade das ondas na água. Aplicando a construção de Huygens para as ondas de água, mostre que uma frente de onda cônica é estabelecida e que o seu meio-ângulo
é dado por
A onda na proa de um navio ou a onda de choque causada por um objeto movendo-se através do ar com uma velocidade superior à velocidade do som são exemplos familiares.
Passo 1
O enunciado diz que a extremidade de um bastão se move na água com velocidade
maior do que a velocidade
das ondas. Usando o princípio de Huygens, cada posição ocupada pelo ponto emissor gera uma pequena esfera (ou círculo, em corte) de raio crescente com velocidade
. Queremos encontrar o envelope dessas esferas, mostrando que é um cone cujo meio-ângulo
satisfaz
.
Passo 2
Segundo Huygens, no instante
o emissor está na origem e a cada instante
emite uma esfera de raio
. No instante final
, o emissor percorreu uma distância
e encontra-se no ponto
. As esferas emitidas formam um feixe cujo envelope tangencia cada esfera.
Passo 3
Considere a esfera emissora de
, centrada na origem, com raio
no instante
. O envelope será a linha tangente a essa esfera que passa por
. No triângulo retângulo formado, a hipotenusa é a distância
e o cateto oposto ao ângulo
é o raio
.
Passo 4
Pelo triângulo retângulo, obtemos
.