A extremidade de um segmento orientado é P(4,6,-3) e o ponto médio é M(2,1,6). Determine as coordendas da outra extermidade do segmento.

Passo 1

O enunciado dá:
P(4,6,-3)
M(2,1,6)
e pede: determinar as coordenadas da outra extremidade do segmento orientado (ou seja, o ponto Q que, junto com P, tem M como ponto médio).

Passo 2

Conceito importante — ponto médio em 3D:
O ponto médio entre dois pontos A(x_1,y_1,z_1) e B(x_2,y_2,z_2) é obtido fazendo a média aritmética coordenada a coordenada. Assim,
\text{o ponto médio}=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right).é
Explicação rápida: cada coordenada do ponto médio é exatamente o número que fica no meio entre as coordenadas correspondentes dos extremos — por isso usamos a média aritmética.

Passo 3

Vamos chamar a outra extremidade de
Q(x_Q,y_Q,z_Q).
Como M é o ponto médio de P e Q, aplicamos a fórmula do ponto médio e substituímos os valores conhecidos:
2=\frac{4+x_Q}{2}
1=\frac{6+y_Q}{2}
6=\frac{-3+z_Q}{2}

Passo 4

Agora resolvemos cada uma das equações para encontrar x_Q, y_Q e z_Q.
Multiplicamos cada equação por 2 para eliminar os denominadores:
4=4+x_Q
2=6+y_Q
12=-3+z_Q

Passo 5

Isolando as incógnitas em cada equação:
Da primeira:
x_Q=4-4=0.
Da segunda:
y_Q=2-6=-4.
Da terceira:
z_Q=12+3=15.

Passo 6

Fazemos uma checagem rápida recalculando o ponto médio entre P e o Q que encontramos:
\left(\frac{4+0}{2},\frac{6+(-4)}{2},\frac{-3+15}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{2}{2},\frac{12}{2}\right)=(2,1,6),
que coincide com M. Tudo certo!

Resposta

(0,-4,15)

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