Encontre o ponto médio do segmento orientado tendo por extremos os pontos A(4,6,1), B(2,-1,3).

Passo 1

O enunciado dá os pontos extremos do segmento orientado e pede o ponto médio. Dados fornecidos:
A(4,6,1) e B(2,-1,3).
Pergunta: qual é o ponto médio do segmento orientado com extremos em A e B?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática e intuitiva): o ponto médio é o ponto que fica exatamente no meio entre os dois extremos — ou seja, está à mesma distância de A e de B. Em coordenadas cartesianas em 3D, se escrevemos
A=(x_A,y_A,z_A),\qquad B=(x_B,y_B,z_B),
então a fórmula do ponto médio M é a média aritmética das coordenadas correspondentes:
M=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\;\dfrac{y_A+y_B}{2},\;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right).
Explicando cada símbolo:
  • x_A,y_A,z_A são as coordenadas de A;
  • x_B,y_B,z_B são as coordenadas de B;
  • o operador \dfrac{\cdot}{2} faz a média entre as duas coordenadas (soma e divide por 2), colocando o ponto exatamente no meio em cada direção.
Outra forma equivalente (vetorial) que ajuda a entender por que isso funciona é:
M = A + \tfrac{1}{2}(B-A),
ou seja, partimos de A e andamos metade do vetor que vai de A até B. Ambas as formas dão o mesmo resultado.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula às coordenadas dadas. Primeiro identifique as coordenadas:
x_A=4,\; y_A=6,\; z_A=1,
x_B=2,\; y_B=-1,\; z_B=3.
Calcule a coordenada x do ponto médio:
x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{4+2}{2}=\dfrac{6}{2}=3.

Passo 4

Calcule a coordenada y do ponto médio:
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{6+(-1)}{2}=\dfrac{5}{2}.

Passo 5

Calcule a coordenada z do ponto médio:
z_M=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2.

Resposta

M\!\left(3,\dfrac{5}{2},2\right)

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